Ziegen SIe: Wenn T ∈ J ist, dann ist die Menge {T · S | S ∈ Z[x]} niemals die ganze Menge J.

Question

Sei J := {3 · P + x · Q | P, Q ∈ Z[x]}. Zeigen Sie:

Wenn T ∈ J ist, dann ist die Menge {T · S | S ∈ Z[x]} niemals die ganze Menge J.

Hinweis: Widerspruchsbeweis

Answer 1

Ich schreibe, wie für Hauptideal üblich \((T\)) für das besagte Ideal.

Angenommen, es wäre \(J=(3,X)=(T)\). Dann wären insbesondere

\(3,X\in (T)\), d.h. es gäbe Polynome \(f,g\in\mathbb{Z}[X]\) mit

\(3=fT\) und \(X=gT\). Da im Polynomring die Gradformel für Produkte

von Polynomen gilt, liefert dies: \(0=Grad(3)=Grad(f)+Grad(T)\). Daher ist

\(Grad(T)=0\), d.h. \(T=c\) für eine ganze Zahl \(c\neq 0\).

Wegen \(1=Grad(X)=Grad(g)+Grad(T)=Grad(g)\), hat \(g\) die Gestalt

\(g=aX+b\). Hieraus folgt \(X=(aX+b)c=(ac)X+(bc)\),

folglich \(ac=1\) mit \(a,c\in \{\pm 1\}\).

Wir bekämen also \(J=(T)=(\pm 1)\) und \(J\) wäre damit der ganze

Polynomring. Das widerspricht aber der Tatsache, dass

\(\mathbb{Z}[X]/J\cong \mathbb{F}_3\) ist.