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Aufgabe:

Wie rechnet man das x aus bei:

\( x^{x^{x^{x^{...}}}} = 2 \)

von

Vom Duplikat:

Titel: Gibt es eine Eindeutige Lösung für x^x....

Stichworte: limes,potenzturm

Aufgabe: Sei a ∈ ℝ, mit a ≥ 0. Berechne die die Gleichung \( x^{x^x...} \) = a. Gibt es eine Lösung, wenn ja ist sie Eindeutig ?

 Hallo wie Berechne ich das ?

Die Frage existiert zwar schon ist auch dort schon auf beantwortet gestellt worden. Allerdings ist die dort gegebene Antwort unvollständig. Also dies Frage bitte wieder öffnen.

Der Artikel zu "Potenzturm" bei Wikipedia klärt meiner Meinung nach alle wichtigen Fragen. Wie man überhaupt sinnvoll die linke Seite definiert und für welche x das möglich ist, und für welche Werte von a es lösbar ist (genau die mit e-1<=a<=e) und die Eindeutigkeit der Lösung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

2 Antworten

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Lösung:

$$x = \sqrt{2}$$

von

z = x^x^x^...

Dann gilt wohl

x^z = z = 2

Das macht doch mit (√2)^2= 2 durchaus Sinn.

Ein Genie rechnet nicht sondern hat eine Eingebung.

Ein Genie kann durchaus rechen. Du hast (mind.) zwei Möglichkeiten:

(1) Umwandlung in rekursive Folge:

\( a_1 = x \)

\( a_2 = x^x = x^{a_1} \)

\( a_3 = x^{x^x} = x^{a_2} \)

\( a_{n+1} = x^{a_n} \)

Mit \( a_n \to 2 \) für \( n \to \infty \) gilt dann

\( 2 = x^2 \).

(2) Mit

$$ x {\rm~hoch~} \underbrace {x {\rm~hoch~} x {\rm~hoch~} x {\rm~hoch~} x \dots}_{=2} = 2 $$

folgt ebenfalls

\( x^2 = 2 \).

Das macht so überhaupt keinen Sinn, weil dann auch x^x^ ... = 4 nach deiner Methode dieselbe Lösung x = √2 hätte, aber 2 ist ja wohl nicht dasselbe wie 4 .

In dem Video wird ja auch genau eure Einsetzmethode vorgeführt, aber ebenfalls ohne jegliche Rechtfertigung.

Ich bleibe dabei :  Wenn diese Rechtfertigung fehlt, dann kann ich auch die Gleichung x^x^x^x^... = 4 durch Einsetzen zu  x^4 = 4 umformen und erhalte ebenfalls die Lösung
x = 4√4 = √2 .
Ohne vorherigen Nachweis der Konvergenz der Folge (a_n) ist nichts gezeigt.

Den Nachweis kann ich aber leider nicht führen.

Gruß Rudi aka hj2166

a(1) = √2 = 1.414213562

a(2) = √2^a(1) = 1.632526919

a(3) = √2^a(2) = 1.760839555

a(n + 1) = √2^a(n)

Nun sieht es doch so aus das √2^x eine streng monoton steigende Funktion ist. Und solange a(n) < 2 ist muss a(n + 1) < 2 sein.

Kann man nicht für diese Folgendefinition den Grenzwert 2 erwarten.

Ich hatte zunächst Probleme mit der Logik

1.  x^x^.. = s  hat genau dann eine Lösung, wenn (a_n) konvergiert
2.  Wenn (a_n)  konvergiert, dann kann x mit der Einsetzmethode bestimmt werden.
3.  Wenn x mit der Eisetzmethode bestimmt wurde, dann ergibt sich x = x_0
4.  Wenn x = x_0 ist, dann konvergiert (a_n)

das sieht doch auf den ersten Blick wie ein Zirkelschluss aus, aber in der Reihenfolge 4.-1.-2. scheint es die Existenz und Eindeutigkeit von x_0 = √2  für s = 2 zu zeigen und macht für  s = 4 überhaupt keine Aussage.


Noch so ein Beispiel für die "geniale Einsetzmethode" :

Bestimme x so, dass  x + x^2 + x^3 + ...  =  -0,5  ist.

Lösung :  -0,5  =  x + x^2 + x^3 + x^4 + ... 
                        =  x·(1 + x + x^2 + x^3 + ...)
                        =  x·(1 + (x + x^2 + x^3 + ...))
                        =  x·(1 + (-0,5))  =  0,5x
 und daraus   x = -1

Ah. Nur das hier eben x + x^2 + x^3 + ...  für x = -1 eben nicht konvergiert.

Ich liebe Numberphile


für x = -1 eben nicht konvergiert. 

Davon rede ich doch (" macht für  s = 4 überhaupt keine Aussage. "), weil eben x^x^...nur Grenzwerte ≤e zulässt (warum das so ist, weiß ich allerdings immer noch nicht).

Wenn man die Gleichung

x^n = n

nach x löst bekommt man

x = n^(1/n)

Wenn man sich f(n) = n^(1/n) mal plottet dann gibt das irgendwo ein Maximum.

f'(n) = n^((1 - 2·n)/n)·(1 - LN(n)) = 0

1 - LN(n) = 0 --> n = e

blob.png

Das sieht auf den ersten Blick ganz gut aus, hat aber folgenden Nachteil, der unbedingt noch einen zweiten Blick erforderlich macht :
Deine Funktion hat kein Minimum (bzw als Grenzwert den Punkt (0|0)), obwohl es ein minimales x gibt, für das der Potenzturm konvergiert (nämlich x_min = (1/e)^e) und zwar zum minimalen Grenzwert 1/e.

0 Daumen

Algebraisch geht das nicht. Auch mit einem Näherungsverfahren wirds wohl schwierig.

Wieviel x hast du denn?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex%5Ex%5Ex%5Ex%5Ex%3D2

von 40 k

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