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1) Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a = 198 und b = 315 auf zwei verschiedene Weisen:
- mit der Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen und daraus den ggT ermitteln.

- mit dem euklidischen Algorithmus


- eine dritte frei nach Wahl

2) Führe den euklidischen Algorithmus auch für : a = 49024 und b = 23408.


3) Bestimme für die Zahlen a und b aus 1) und 2) jeweils eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination der Zahlen a und b, d. h. bestimme u, v ∈ Z so, dass gilt:
ggT (a, b) = u · a + v · b.

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Hallo Nadia, hallo Lina,

Der euklidische Algorithmus war:$$\begin{align} 315 \div 198 &= 1 \space \mbox{Rest}\, &117 \\ 198 \div 117 &= 1 \space \mbox{Rest}\, &81 \\ 117 \div 81 &= 1 \space \mbox{Rest}\, &36 \\ 81 \div 36 &= 2 \space \mbox{Rest}\, &9 \\ 36 \div 9 &= 4 \space \mbox{Rest}\, &0 \end{align}$$

3) Bestimme für die Zahlen a und b aus 1) und 2) jeweils eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination der Zahlen a und b, d. h. bestimme u, v ∈ Z so, dass gilt:
ggT (a, b) = u · a + v · b.

Eine der letzten Gleichungen aus dem euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT von 198 und 315 lautet$$81 : 36 = 2 \space \mbox{Rest}\, 9 \\ \implies 9 = 1 \cdot 81 - 2 \cdot \bbox[#ffff00, 1px]{36}$$damit liegt bereits eine Linearkombination für den \(\mbox{ggT} = 9\) vor. Nun ersetzt man rückwärts jeweils eine Zahl (hier die \(\bbox[#ffff00, 1px]{36}\)) aus den Ergebnissen des euklidischen Algorithmus.

Die vorhergehende Division war \(117 \div 81 = 1 \space \mbox{Rest}\, \bbox[#ffff00, 1px]{36}\) daraus folgt:$$ \bbox[#ffff00, 1px]{36} =  117 - 1 \cdot 81$$Einsetzen in die Gleichung mit \(9=\dots\) gibt:$$\begin{align} 9 &= 1 \cdot 81 - 2 \cdot( 1 \cdot 117 - 1 \cdot 81) \\ &= -2 \cdot 117 + 3 \cdot \bbox[#ff88ff, 1px]{81} \end{align}$$Aus \(198 \div 117 = 1 \space \mbox{Rest}\, \bbox[#ff88ff, 1px]{81} \) (s.o.) folgt$$ \bbox[#ff88ff, 1px]{81} = 198 - 1 \cdot 117 $$wieder Einsetzen in die aktuelle Gleichung des ggT:$$\begin{align} 9 &= -2 \cdot 117 + 3 \cdot(198 - 1 \cdot 117) \\ &= 3 \cdot 198 - 5 \cdot \bbox[#88ff88, 1px]{117} \end{align}$$und die 117 folgt aus der ersten Gleichung \(315 \div 198 = 1 \space \mbox{Rest}\, \bbox[#88ff88, 1px]{117}\):$$ \bbox[#88ff88, 1px]{117} = 315 - 1 \cdot 198$$Einsetzen:$$\begin{align} 9 &= 3 \cdot 198 - 5 \cdot( 315 - 1 \cdot 198) \\ &= -5 \cdot 315 + 8 \cdot 198\end{align}$$und damit erhält man eine Linearkombination für den \(\mbox{ggT} = 9\) aus den ursprünglichen Zahle \(a=198\) und \(b=315\).

Falls noch etwas unklar bleiben sollte, so frage nochmal nach.

Gruß Werner

von 19 k

Danke dir ! Ich hoffe das wird jetzt nicht wieder gelöscht....

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Euklidischen Algorithmus

ggT(198, 315)
315 : 198 = 1 Rest 117
198 : 117 = 1 Rest 81
117 : 81 = 1 Rest 36
81 : 36 = 2 Rest 9
36 : 9 = 4 Rest 0
Damit ist 9 der ggT.
von 295 k

Der euklidische Algorithmus:

315 = 198*1 + 117
198 = 117*1 + 81
117 = 81*1 + 36
81 = 36*2 + 9
36 = 9*4 + 0

Erweiterung von unten nach oben,
beginnend mit der vorletzten Zeile: 

9
= 81 - 36*2 = 81 - (117-81*1)*2 = 81*3 - 117*2
= (198-117*1)*3 - 117*2 = 198*3 - 117*5
= 198*3 - (315-198*1)*5 = 198*8 - 315*5 = 9.

kann mir bitte jemand wenigstens die letzte erklären, den Rest habe ich jetzt schon gemacht :)

Was hast du an der Antwort von "Gast az0815" nicht verstanden.

315 : 198 = 1 Rest 117 → 117 = 315 - 1·198 → 9 = 3·198 - 5·117 = 3·198 - 5·(315 - 1·198) = 8·198 - 5·315
198 : 117 = 1 Rest 81 → 81 = 198 - 1·117 → 9 = 3·(198 - 1·117) - 2·117 = 3·198 - 5·117
117 : 81 = 1 Rest 36 → 36 = 117 - 1·81 → 9 = 81 - 2·(117 - 1*81) = 3·81 - 2·117
81 : 36 = 2 Rest 9 → 9 = 81 - 2·36
36 : 9 = 4 Rest 0

Also ist 9 = 8·198 - 5·315

ist das die letze Aufgabe ?

Zumindest die hälfte. Ich habe es für den ggt von 9 vorgemacht. Also für das Beispiel 1)

Du solltest es auch noch für 2) machen. Und dort auch den ggt berechnen.

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