Taylor-Reihen bestimmen: Ich finde keine explizite Ableitungsvorschrift

Question

Aufgabe:

ich soll eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 bis unendlich bestimmen.

Jedoch verhaspele ich mich bei folgender Funktion immer an der Produktregel, sodass jede Ableitung immer ekeliger wird und ich kein Muster erkennen kann:

1/(1-x²) + 1/(1+x²)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion erstmal mit dem 3. Binom zu 2/(1-x⁴) zusammengefasst und dann erstmal die Produktregel benutzt.

Also 1. Ableitung = (8x³)/(1-x⁴)²

2. Ableitung durch Produktregel: 24x³*(1-x⁴)^-2+8x³*(-2)*(1-x⁴)^-3 *(-4x³)

Öhm tja und jetzt?

Die Reihe lautet ja von k bis unendlich die k-te Ableitung am Entwicklungspunkt (hier 0) durch k! mal x^k.

Kann mir da jemand behilflich sein :-)

Danke schonmal

Entschuldigt bitte, dass ich noch keine Erfahrung mit ansehnlichen Darstellungen von Formeln habe :-(

Answer 1

Geht das nicht einfach mit der geometrischen Reihe:

1 / ( 1 -q) = 1+q+q²+q³+...

mit q = x⁴ und einem Faktor 2 vor das Ganze .

Comments

Aber das gilt doch nur für x⁴ <1?

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...um den Entwicklungspunkt 0 bis unendlich bestimmen.

Das Ding hat bei -1 und 1 Polstellen - da kann der Konvergenzradius maximal 1 sein.

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Sorry ich bin in dem Thema noch nicht ganz durchgedtiegen.

Heißt das es gibt nur zwischen - 1 und 1 eine Taylor Entwicklung?

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Zu jeder Potenzreihe gibt es einen Konvergenzbereich.

Hier ist der das Intervall von -1 bis 1 ohne die Randwerte.