Lösen der Gleichung: 0=x3-4x-14

Question

Ich möchte gerne die Gleichung: 0=x^3-4x-14 lösen.

Grafisch weiß ich, dass es zwei x Werte geben muss.

Leider fehlt mir ein leichter Ansatz, wie ich das Teil angehen kann um das x^3 zu eliminieren.

 

Comments

Hier hilft nur ein Näherungsverfahren (Newton z.B.), weil sich keine Nullstelle "raten" lässt. Alle Teiler von 14 funktionieren leider nicht. Daran scheitert die Polynomdivision.

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Du schreibst 'elliptisch'. Da passt    'hoch 3' in deiner Gleichung nicht wirklich. https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Ellipsengleichung_.28kartesisc…

Answer 1

Hallo

Die Gleichung w³ +a2 w² +a1 w +a0 = 0 kannst Du umformen in a0/w³ +a1/w² +a2/w +1 = 0

und daraus (a0/a1w)³ +(a0/a1w)² +a2*a0/a1² (a0/a1w) +a3*a0²/a1³ = 0 machen

Nun ersetzt Du a0/a1w durch z -1/3:

(z -1/3)³ +(z -1/3)² +a2*a0/a1² (z -1/3) +a0²/a1³ = 0

(z³ -z² +1/3 z -1/27) +(z² -2/3z +1/9) +(a2*a0/a1² z -1/3*a2*a0/a1²) +a0²/a1³ = 0

z³ +(a2*a0/a1² -1/3) z -1/27 +3/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³ = 0

z³ +(a2*a0/a1² -1/3) z +2/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³ = 0

Du kannst also z als 3. Wurzel direkt bestimmen, falls für den linearen Koeffizient gilt:  a2*a0/a1² -1/3 = 0

In diesem Fall gilt dann:

z = - (+2/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³)^1/3 = 1/3 +a0/a1/w

w = a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³)^1/3)

Also musst Du a2, a1, a0 so berechnen, dass gilt 3*a0*a2 = a1²

Du hast also als gegebene Koeffizienten b0, b1, b2 für das normierte kubische Polynom und erhältst

x³ +b2 x² +b1 x +b0 = 0  ==> (x -k)³ +(3*k +b2) (x -k)² +(3*k² +2*b2*k +b1) (x -k) +k³ +b2 k² +b1 k +b0 = 0

= (x -k)³ +a2 (x -k)² +a1 (x -k) +a0 = 0

also besteht das Problem darin, k zu finden:

3*a0*a2 = a1²  <=> 3 * (k³ +b2 k² +b1 k +b0) * (3 k +b2) = (3 k² +2b2 k +b1)²

3 (3k⁴ +b2 k³ +3b2 k³ +b2² k² +3b1 k² +b1 b2 k +3b0 k +b0b2)

= (9k⁴ +12 b2 k³ +4b2² k² +6b1 k² + 4b1b2 k +b1²)

<==> (9 k⁴ +3 b2 k³ +9 b2 k³ +3 b2² k² +9 b1 k² +3 b1 b2 k +9 b0 k +3 b0b2)

= (9k⁴ +12 b2 k³ +4b2² k² +6b1 k² + 4b1b2 k +b1²)

<==> (3 b1 -b2² ) k² +(9 b0 - b1b2) k +3 b0b2 -b1² = 0

In Deinem Beispiel ist b0 = -14 und b1 = -4 und b2 = 0, also ist k:

(3*(-4) -0) k² +(9*(-14)  -0) k +3*0 -(-4)² = 0

-12 k² -126 k -16 = 0 <=> 12 k² +126 k +16 = 0 <=> k1,2 = 1/12*( -63 +/- (63² -192)^1/2)) = 1/12*(-63 +/- (3777)^1/2) = -0.128558145  oder   -10.037144185

==> k1 = -0.128558145

und a0 = k1³ +b2 k1² +b1 k1 +b0 = - 13.48789212

und a1 = 3 k1² +2 b2 k1 +b1 = - 3.950418409

und a2 = 3 k1 +b2 = - 0.385674437

w³ +a2 w² +a1 w +a0 = 0

w = x -k =  a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³)^1/3)

x1 = k +a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1² +a0²/a1³)^1/3)

x1 = -0.128558145 +(-13.48789212)/(-3.950418409)

/ (-1/3 - (2/27 -1/3*(-0.385674437)*(-13.48789212)/3.950418409² +13.48789212²/(-3.950418409³)^1/3 )

= -0.128558145 + 3.414294739 / (-1/3 -(-2.987966836)^1/3) = -0.128558145 + 3.414294736 / (1.106985339)

= 2.955759791

Probe: x1³ -4 x1 -14 = 0.00000337 (w)

Answer 2

Hi,

da gibt es nur eine Nullstelle?

Mit Newton: https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren


Ich komme auf x ≈ 2,9558


Grüße