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Aufgabe:

Ich muss für eine Aufgabe den Fixvektor(Grenzvektor) berechnen:

M = \( \begin{pmatrix} 0 & 22 & 11  \\ 0,03 & 0 &0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \) •\( \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} A\\B\\C \end{pmatrix} \)

Sprich:   lim (n gegen ∞)   Mn * \( \vec{a} \) = \( \vec{f} \)

von

Vom Duplikat:

Titel: Populationsmatrix.........

Stichworte: population,matrix

Info:

M = \( \begin{pmatrix} 0 & 20 & 10 \\ 0,04 & 0 & 0  \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \)

Die Übergangsmatrix beschreibt die Population von Fröschen; also: Eier - Frösche 1 (geschlechtsreif; 2-4 J) - Frösche 2 (4-6J).

Aufgabe:

Was passiert, wenn sich durch günstige Umweltbedingungen die Geburtenrate pro Tier in beiden Altersgruppen um 10% erhöht, sich durch mehr Fressfeinde aber nur noch drei von 100 Eiern zu geschlechtsreifen Fröschen entwickeln?

Ansatz:

Neue Matrix M´ = \( \begin{pmatrix} 0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 & 0  \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \)

n • \( \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} \) =>Bild (19).jpg

Stell doch mal die Aufgabe im Original(!) ein und zwar als Foto!

BITTESCHÖN, Aufgabe D)

Wenn du meinst deine Frage wurde noch nicht hinreichend gut beantwortet melde dich einfach wieder.

https://www.mathelounge.de/654941/grenzvektor-berechnen-wie

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Die Berechnungen sind von Hand etwas fummelig. Ich habe sie daher mit Excel durchgeführt und zeige hier nur die Ergebnisse. Die Eigenwerte der Matrix sind:

$$\lambda_1=-0,631412\quad;\quad\lambda_2=-0,285118\quad;\quad \lambda_3=0,91653$$Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$$\vec v_1=\left(\begin{array}{c}26,5787 \\ -1,26282 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_2=\left(\begin{array}{c}5,41949 \\ -0,570236 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_3=\left(\begin{array}{c}56,0018 \\ 1,83306 \\ 1\end{array}\right)$$Damit lässt sich die gegebene Matrix \(M\) diagonalisieren:

$$M=SDS^{-1}\quad\mbox{wobei:}$$$$M:=\left(\begin{array}{c}0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 & 0\\ 0 & 0,5 & 0\end{array}\right)$$$$S:=\left(\begin{array}{c}26,5787 & 5,41949 & 56,0018 \\-1,26282 & -0,570236 & 1,83306 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$D:=\left(\begin{array}{c}-0,631412 & 0 & 0 \\ 0 & -0,285118 & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653\end{array}\right)$$$$S^{-1}:=\left(\begin{array}{c}0,0279829 & -0,588957 & -0,487497\\ -0,036047 & 0,342589 & 1,39071\\0,00806417 & 0,246368 & 0,0967844\end{array}\right)$$Damit ist nun:$$M^n=\overbrace{SD\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}D\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}DS^{-1}\cdots SDS^{-1}}^{n\;Faktoren}=SD^nS^{-1}$$und weiter:

$$\vec f=M^n\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)=SD^nS^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec f}=S\left(\begin{array}{c}(-0,631412)^n & 0 & 0 \\ 0 & (-0,285118)^n & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653^n\end{array}\right)S^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$Für \(n\to\infty\) geht die Matrix \(D^n\to0\) in die Nullmatrix über. Daher ist \(\vec f=\vec 0\).

von 11 k

Danjke für deine Antwort, die etwas kompliziert ausschaut: Die Lösung ist bei mir

Wenn man die Matrix hoch 200 mal den Anfagnsvektor dann erhalten (3,707*10hoch -5; 1,213*10 hoch -6; 6,62 *10 hoch -7)

200 ist nicht das Gleiche wie unendlich. Warum sollte bei 200 Schluss sein?


Könntest du 3,707*10hoch -5 eigentlich ohne Verwendung von Zehnerpotenzen selbst als Zahl hinschreiben?

200 ist noch recht weit weg von Unendlich ;) Wenn du dir mal deinen "Grenzwert" bei n=200 anschaust, kannst du an den Zehnerpotenzen schon erkennen, dass es in Richtung 0-Vektor geht.

Ja, das kann ich aber wie kann es mit weniger aufwand mit taschenrechner lösen`?

Letztlich kommt es nur auf das Verhalten der Matrix D^n an. Und das kannst du schon an den Eigenwerten ablesen. Der Rest ist nur etwas Beiwerk fürs bessere Verständnis.

+1 Daumen

Mit den meisten Taschenrechnern ist das recht einfach.

Du kannst die Eigenwerte berechnen indem du folgende Gleichung löst

DET([0 - k, 22, 11; 0.03, 0 - k, 0; 0, 0.5, 0 - k]) = 0

- k^3 + 0.66·k + 0.165 = 0

Fast jeder aktuelle Taschenrechner ist in der Lage kubische Gleichungen zu lösen.

Die Lösungen sind hier: k = -0.2851180253 ∨ k = 0.9165298026 ∨ k = -0.6314117772

Alle Eigenwerte sind hier vom Betrag kleiner als 1. Damit nimmt der Bestand immer weiter auf 0 ab.

von 302 k

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