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Aufgabe:
Es soll die Lösungsmenge für \( \sqrt{x^2-2x+1}+x-1 =0 \) bestimmt werden.

Problem/Ansatz:
Habe leider echt keine Ahnung wie ich das Beispiel rechnen soll, die Nullstelle bei 1 war noch leicht zu finden. Wie soll ich dann aber die Formel umformen um auf das richtige Ergebnis (x \(\leq 1\)) zu kommen?

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\(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)

Somit ist \(\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2}\).
Es ergibt sich \(\sqrt{(x-1)^2}+x-1=0 \Leftrightarrow |x-1|+x-1=0\).

Betrag auflösen: \(x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1\)


Fall 1: \(x\geq 1\)

\((x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow 2x-2 = 0 \Leftrightarrow x=1 \Longrightarrow L_1= \{1\}\)


Fall 2: \(x < 1\)

\(-(x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow -x+x+1-1 = 0 \Leftrightarrow 0=0 \Longrightarrow L_2=(-\infty; 1)\)


Somit ergibt sich als Lösungsmenge \(L=L_1\cup L_2 = (-\infty;1]\)

Avatar von 13 k

Heißt das sobald ich einen quadratischen Ausdruck habe, ist das dasselbe wie der Betrag des Ausdruckes?

Solange du die Wurzel des quadrierten Terms ziehst, ergibt es den Betrag des Terms.

\(\sqrt{f^2(x)} =|f(x)| ,\;\, \sqrt{f(x)}^{\,2} = f(x)\)

Vielen Dank für die Lösung

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