Gleichung mit Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:
Es soll die Lösungsmenge für $\sqrt{x^2-2x+1}+x-1 =0$ bestimmt werden.

Problem/Ansatz:
Habe leider echt keine Ahnung wie ich das Beispiel rechnen soll, die Nullstelle bei 1 war noch leicht zu finden. Wie soll ich dann aber die Formel umformen um auf das richtige Ergebnis (x $\leq 1$) zu kommen?

Answer 1

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

Somit ist $\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2}$.
Es ergibt sich $\sqrt{(x-1)^2}+x-1=0 \Leftrightarrow |x-1|+x-1=0$.

Betrag auflösen: $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1$

Fall 1: $x\geq 1$

$(x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow 2x-2 = 0 \Leftrightarrow x=1 \Longrightarrow L_1= \{1\}$

Fall 2: $x < 1$

$-(x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow -x+x+1-1 = 0 \Leftrightarrow 0=0 \Longrightarrow L_2=(-\infty; 1)$

Somit ergibt sich als Lösungsmenge $L=L_1\cup L_2 = (-\infty;1]$

Comments

Heißt das sobald ich einen quadratischen Ausdruck habe, ist das dasselbe wie der Betrag des Ausdruckes?

---

Solange du die Wurzel des quadrierten Terms ziehst, ergibt es den Betrag des Terms.

$\sqrt{f^2(x)} =|f(x)| ,\;\, \sqrt{f(x)}^{\,2} = f(x)$

---

Vielen Dank für die Lösung