Zunahme von Bakterien in einer Petrischale (Textaufgabe)

Question

Aufgabe:

Forscher haben das Wachstum einer bestimmten Bakterienkultur in einer Petrischale beobachtet. Die von Bakterien bedeckte Fläche (in cm2) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in h) seit dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr morgens kann im Zeitraum von 8 Uhr morgens bis 12 Uhr mittags des darauf folgenden Tages näherungsweise durch die Funktion A mit

A(t) = -0,005t3+0,2t2+0,9t+1 beschrieben werden.

a)Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.

b)Berechnen Sie die maximale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche .

Problem/Ansatz:

Ich möchte wissen, ob meine Ergbenisse stimmen, besonders Aufgabe b

Answer 1

a) Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.

A(19) = -0.005·(19)^3 + 0.2·(19)^2 + 0.9·(19) + 1 = 56.01 cm²


b) Berechnen Sie die maximale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche.

A(t) = -0.005·t^3 + 0.2·t^2 + 0.9·t + 1
A'(t) = -0.015·t^2 + 0.4·t + 0.9
A''(t) = 0.4 - 0.03·t = 0 → t = 40/3 = t = 13.33 h (Nullstelle mit VZW von + nach - und damit LR-Krümmungswechsel)

A'(40/3) = -0.015·(40/3)^2 + 0.4·(40/3) + 0.9 = 107/30 = 3.567 cm²/h

Comments

Wieso ist die NB A‘‘(t) = 0 und nicht A‘(t) = 0

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Und warum setzt man anm Ende das alles in f‘(t) und nicht wie immer in f(t)

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Weil nicht die, die Fläche gesucht ist, an der man die maximale Zunahme hat, sondern eben die maximale Zunahme.

Stell dir vor, du fährst auf der Autobahn

f(t) ist die Kilometermarke, an der du dich befindest zum Zeitpunkt t

f'(t) ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t und

f''(t) ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt t

Wenn ich dich jetzt nach der maximalen Geschwindigkeit frage, dann setzt du die erste Ableitung der Geschwindigkeit, also die zweite Ableitung von f gleich null und berechnest so die möglichen Zeitpunkte.

Diese Zeitpunkte setzt du dann min die Geschwindigkeitsfunktion ein, um die mögliche maximale Geschwindigkeit zu erhalten.

Evtl. dann noch eine hinreichende Bedingung nachschieben, um sicherzugehen, dass man ein Maximum hat und nicht ein Minimum.

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Jetzt bin ich noch mehr verwirrt als vorher

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Mach dir klar, dass die Streckenfunktion, Geschwindigkeitsfunktion und Beschleunigungsfunktion 3 verschiedene Funktionen sind.

Ein Maximum einer Funktion berechnest du, indem du die erste Ableitung gleich null setzt. Also die maximale Geschwindigkeit über

v'(t) = 0

Nun ist v aber selber die Ableitung von s gewesen und damit

v'(t) = s''(t) = 0

Und gefragt war nach der höchsten Geschwindigkeit und damit nach

v(t) = s'(t) = ...

Deswegen musst du es nachher in die erste Ableitung einsetzen.

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Wieso ist denn V die anleitung von s

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Die Streckenänderung in Abhängigkeit der Zeit war doch die Geschwindigkeit

v = Δs / Δt

und Δs / Δt ist der berüchtigte Differenzenquotient, der in der Ableitung für beliebig kleine Zeitspannen zum Differenzialquotient wird.

Answer 2

Der letzte Satz muss heißen: Die maximale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche ist 3,57 cm²/h.  Sonst ist alles richtig.

Comments

Wie sind Sie auf die 3,57 m^2/h gekommen ?

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Dein Komma ist falsch.

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Fehler wurde korrigiert.

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Anstatt zu sagen das Komma ist falsch könnte man besser sagen die Einheit ist falsch. Das verwirrt die Schüler weniger stark.

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@mathecoach: Gast hj2166 will niemandem helfen.

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Doch. Er möchte dir helfen und dich auf deinen Fehler hinweisen.

Natürlich hattest du in der Tat das Komma für die gewählte Einheit falsch gesetzt, aber vermutlich hat die Tastatur nur etwas gehakt und das c wurde daher nicht richtig beim Tippen erkannt.