Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben. Bsp. y=f(x)=x²+8x+7

Question

Aufgabe:

a). y=f(x)=x²+8x+7

b). y=f(x)=x²-6x+10

c). y=f(x)=0,2x²+2x+8

d). y=f(x)=0,5x²-4x+7

Problem/Ansatz:

Wandeln Sie die folgenden Gleichungen in die Scheitelpunktform der Parabelgleichung um und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

Comments

ist dir "quadratische Ergängzung" ein Begriff?

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Was meinst du damit?

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Schau dir die Antwort von Gast2016 an, er hat es für a) vorgerechnet.

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... oder schau dir dieses Video an:

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Anastasia hat das Lösen von quadratischen Gleichungen auf der mathelounge schon mal geübt. https://www.mathelounge.de/664214/quadratische-gleichungen-losen Da müsste quadratische Ergänzung vorgekommen sein (?)

Leider hat Anastasia nicht auf die Antworten im Link reagiert.

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Tschakabumba hat sich so viel Mühe gegeben, das sollte auch Anastasia verstanden haben. Vielleicht reagiert sich ja noch...

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Schreibregeln: 1 Aufgabe pro Frage!

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Ich habe es schon geübt. Nun weiß ich wie das funktioniert.

Answer 1

Aloha :)

Ich mache das am Beispiel von (d) ausführlich vor und gebe für (a), (b) und (c) die Lösungen an, damit du deine Ergebnisse damit vergleichen kannst.

Betrachten wir also$$y=0,5x^2-4x+7$$Schritt 1: Ausklammern

Klammer die Zahl vor dem $x^2$ aus. Dieser Schritt entfällt, wenn vor dem $x^2$ kein Faktor (bzw. der Faktor 1) steht.$$y=0,5\cdot(x^2-8x+14)$$Schritt 2: Quadratische Ergänzung

Nimm die Zahl vor dem $x$, halbiere sie und quadriere das Ergebnis, hier: $\left(\frac{-8}{2}\right)^2=16$. Dies ist die sog. quadratische Ergänzung. Addiere sie direkt hinter dem $x$ und subtrahiere sie sofort wieder:

$$y=0,5\cdot(x^2-8x\underbrace{+16-16}_{=0}+14)$$Schritt 3: Binom bilden

Nach dieser "Konstruktion" kannst du immer ein Binom $(x\pm a)^2$ bilden, wobei $a$ die Wurzel aus der quadratischen Ergänzung ist. Das Vorzeichen ist dasselbe wie beim $x$-Term der quadratischen Gleichung:$$y=0,5\cdot(\underbrace{x^2-8x+16}_{(x-4)^2}\underbrace{-16+14}_{=-2})=0,5\left[(x-4)^2-2\right]$$Schritt 4: Den ausgeklammerten Vorfaktor wieder rein multiplizieren

$$y=0,5\left[(x-4)^2-2\right]=0,5(x-4)^2-1$$Der Scheitelpunkt ist nun bei dem $x$, wo das Quadrat $=0$ und damit minimal wird. Den zugehörige $y$-Wert kannst du dann sofort ablesen: $S_d(4;-1)$

Zur Kontrolle noch (a), (b) und (c):

$$y=x^2+8x+7=\underbrace{x^2+8x+16}_{}\underbrace{-16+7}_{}=(x+4)^2-9$$$$y=x²-6x+10=\underbrace{x^2-6x+9}_{}\underbrace{-9+10}_{}=(x-3)^2+1$$$$y=0,2x^2+2x+8=0,2\cdot(x^2+10x+40)$$$$\phantom{y}=0,2\cdot(\underbrace{x^2+10x+25}_{}\underbrace{-25+40}_{})=0,2\cdot\left[(x+5)^2+15\right]=0,2(x+5)^2+3$$

Achja, die Scheitelpunkte sind $S_a(-4;-9)\;;\;S_b(3;1)\;;\;S_c(-5;3)$

Answer 2

quadratisch ergänzen:

x²+8x+7 = x²+8x+4²-4²+7 =(x+4)²-9 → S(-4/-9)

0,2x²+2x+8  = 0,2(x²+10x+5²-5²)+8 = 0,2(x+5)²+3 → S(-5/3)

Rest analog!