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Aufgabe:

Extrempunkte anhand von Funktion berechnen


Problem/Ansatz

f(x)= x^4 - 2x^2 + 1

f`(X) = 4x^3 - 4x

f"(x) = 12x^2 - 4

1.notwendige Bedingung

f´(x) = 4x^3 - 4x =0 /:4

x^3-1x = 0 / -> nun bin ich mir aber nicht sicher wie ich diese Rechnung fortführen soll! Ich kenne es bloß so das nun die p/q Formel angewendet wird aber mich verwirrt dieses x^3 da ich zum einen nun auch nicht genau weiß was nun mein p ist und was mein q.

wäre super nett wenn mich jemand retten könnte :))

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7 Antworten

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Es gilt übrigens x4 - 2x2 + 1 = (x²-1)²

(x²-1)² hat zwingend die Tiefpunkte (-1|0) und (1|0) und den Hochpunkt (0|f(0)), also (0|1).

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x^3-x=0 klammere x aus.

x(x^2-1)=0 ->Satz vom Nullprodukt

x1=0

x^2-1=0

x^2=1

x2.3=± 1

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x3-1x = 0

x·(x2-1)=0

x·(x+1)·(x-1)=0

x1=0 x2=1 x3=-1.  

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Hallo Fajna,


\(x^3-x=0 \Rightarrow x\cdot(x^2-1)=0 \Rightarrow x_1=0 ; x_2=-1 ; x_3= 1\)

\(f(0)=1 \Rightarrow E_1(0|1)\)

\(f(\pm 1)=0 \Rightarrow E_{23}(\pm 1|0)\)

Falls du noch zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden musst, setzt du die x-Werte in die zweite Ableitung ein.


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4x^3 - 4x = 0

4x ausklammern:

4x(x^2-1) = 0

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist ⇒

4x = 0 oder x^2 - 1 = 0

Ab hier kommt du sicher selber weiter, sonst melde dich noch einmal.

Gruß, Silvia

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Danke für die rasche Antwort meine Frage wäre jetzt aber auch noch bezogen auf die hinreichende Bedingung. Ich muss ja nun den x Wert in die zweite Ableitung einsetzen um herauszufinden ob es sich um einen Tiefpunkt oder einen Hochpunkt handelt. Wie soll das denn nun gehen da ich ja nun 3 x Werte habe? Welchen soll ich den nun anwenden? x1=0 ; x2=1 ; x3= -1

Danke danke für die Hilfe! ;)

Du musst für alle drei Stellen herausfinden, ob es Maximum- oder Minimumstellen sind.

Also: dreimal das gleiche Vorgehen...

eine kleine Grafik zur Orientierung:

4. Grades.JPG

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4x^3 - 4*x  = 0
x * ( 4x^2 - 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
4x^2  - 4 = 0
x^2 - 1 = 0
x = +1
x = -1

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~plot~ x^4 - 2x^2+ 1 ~plot~

Du hast bestimmt schon die doppelten Nullstellen bei x=- 1 und x=1 gefunden. (Biquadratische Gleichung)

Daher kennst du bereits zwei Extremalstellen.

Ausserdem ist f(x) eine gerade Funktion, d.h. symmetrisch zur y-Achse. Auf der y-Achse selbst liegt ihre dritte Extremalstelle. Genauer in P(0|1) ist ein Extremum, in A(-1|0) und B(1|0) auch eines.

Da ein Polynom 4. Grades betrachtet wird, liegt in P(0|1) ist ein lokales Maximum und in A(-1|0) sowie in B(1|0) ein lokales Minimum.

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