Wie bestimme ich den Konvergenzradius einer Potenzreihe?

Question

Gegeben sei die folgende Potenzreihe $f(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k x^{k-1}$

a. Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

b.Finden sie eine Stammfunktion von f innerhalb des  Konvergenzradius

c. Finden sie eine einfache Formel für f innerhalb des Konvergenzradius

Comments

Hast du bereits mal bei den ähnlichen Fragen geschaut? Hilft da keine von?

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Wie bestimme ich den Konvergenzradius einer Potenzreihe?

Indem du die Koeffizienten in die Formel für den Konvergenzradius einsetzt und den Grenzwert für n gegen unendlich bildest - wie sonst?

b.Finden sie eine Stammfunktion von f innerhalb des  Konvergenzradius

Du weißt nicht, wie man eine Potenz von x integriert?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-0)^k$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+2-1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|1-\frac{1}{k+2}\right|=1$$

Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius $|x|<1$ bewegt, darf man in unendlichen Summen die einzelnen Summanden differenzieren bzw. integrieren. Daher kannst du eine Stammfunktion sofort hinschreiben:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}$$

Dies erinnert stark an die geometrische Reihe, denn:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}+1-1=\sum\limits_{k=-1}^\infty x^{k+1}-1=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k-1=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}$$

Answer 2

Konvergenzradius:

Grenzwert (wenn existent) von a_n / a_n+1 also hier

k /  (k+1) und für k gegen unendlich geht das gegen 1, also r=1.