0 Daumen
704 Aufrufe

Gegeben sei die folgende Potenzreihe \( f(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} \)

a. Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

b.Finden sie eine Stammfunktion von f innerhalb des  Konvergenzradius

c. Finden sie eine einfache Formel für f innerhalb des Konvergenzradius

Avatar von

Hast du bereits mal bei den ähnlichen Fragen geschaut? Hilft da keine von?

Wie bestimme ich den Konvergenzradius einer Potenzreihe?

Indem du die Koeffizienten in die Formel für den Konvergenzradius einsetzt und den Grenzwert für n gegen unendlich bildest - wie sonst?


b.Finden sie eine Stammfunktion von f innerhalb des  Konvergenzradius

Du weißt nicht, wie man eine Potenz von x integriert?

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-0)^k$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+2-1}{k+2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|1-\frac{1}{k+2}\right|=1$$

Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<1\) bewegt, darf man in unendlichen Summen die einzelnen Summanden differenzieren bzw. integrieren. Daher kannst du eine Stammfunktion sofort hinschreiben:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}$$

Dies erinnert stark an die geometrische Reihe, denn:$$F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}+1-1=\sum\limits_{k=-1}^\infty x^{k+1}-1=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k-1=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}$$

Avatar von 148 k 🚀
0 Daumen

Konvergenzradius:

Grenzwert (wenn existent) von an / an+1 also hier

k /  (k+1) und für k gegen unendlich geht das gegen 1, also r=1.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community