Sind a, b, c, d ∈ ℚ mit a + b √2 = c + d √2, so gilt a = c und b = d.

Question

Hallo!

ich habe echt keinen Ansatz wie ich das lösen soll.

Sind a, b, c, d ∈ ℚ mit a + b √2 = c + d √2, so gilt a = c und b = d.

Anscheinend ist ℚ ein Körper, ich weiß aber nicht wirklich wie mir das bei der Lösung helfen soll.

 

Vielen Dank für die Hilfe!

Comments

Wenn etwas ein Teilkörper ist, ist es automatisch auch ein Körper. Schau vielleicht auch mal noch hier rein:

https://www.mathelounge.de/4034/sei-k-q-√2-x-y√2-∈-r-x-y-∈-zeigen-sie-dass-k-ein-teilkorper-von-r-ist

Bei einem Körper hast du eine 'Addition' und eine 'Multiplikation' und kannst ihrer Definition entsprechende Rechengesetze verwenden.

Answer 1

Das Geheimnis ist daran das eine irrationale Zahl mit einer rationalen Zahl multipliziert immer eine irrationale Zahl ergibt.

a + b √2 = c + d √2

konnen wir uns also ausplitten in eine rationale Gleichung und eine irrationale Gleichung

a = c

b √2 = d √2

Damit müssen a = c und b = d sein.