Relationen auf R^2: Äquivalenzelationen

Question

Aufgabe:

Sei A = ℝ² . Wir führen Relationen R1 und R2 auf A ein, so dass(x1,x2)R1(y1,y2) genau dann gilt, wenn x1= y1 ist und (x1,x2)R2(y1,y2) genau dann gilt, wenn x2=y2 ist.

a) Zeigen sie, dass R1 und R2 Äquivalenzrelationen sind.

b) Geben sie die Äquivalenzklassen des Punktes (1,2) bezüglich R1 und R2 an. Fertigen sie dazu eine Zeichnung an.

Problem/Ansatz:

Refelxivität

        Begründe warum (x1, x2)R1(x1, x2) gilt.

Symmetrie

        Angenommen es gilt (x1, x2)R1(y1, y2).

        Begründe warum dann auch (y1, y2)R1(x1, x2) gilt.

Transitivität

        Angenommen es gelten  (x1, x2)R1(y1, y2) und (y1, y2)R1(y1, y2).

        Begründe warum dann auch (x1, x2)R1(z1, z2) gilt.

         Die Frage ist nur wie?

Answer 1

(x1,x2)R1(y1,y2) genau dann , wenn x1= y1 ist.

reflexiv:  Für alle (x,y) ∈ ℝ^2 gilt

x=x , also  (x,y) R1 (x,y) .

symmetrisch:  Wenn (x,y) R1 (a,b)

==>    x = a

==>    (a,b) R1 (x,y)

transitiv:   Wenn   (x,y) R1 (a,b)  und  (a,b) R1 (u,v)

==>   x = a    und   a = u , also auch    x = u

==>   (x,y)  R1 (u,v).

R2 entsprechend.

 

Comments

Dankeschön! Hast du auch einen Ansaz für die b)?

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Äquivalenzklasse des Punktes (1,2) bezüglich R1

Das wären alle Paare ( also Punkte im Koordinatensystem)

die mit (1,2) in dieser Relation stehen, die also die

gleiche 1. Koordinate wie dieser Punkt haben. Kurz:

Alle Punkte mit 1. Koordinate 1.  Die bilden eine

zur y-Achse parallele gerade durch (1;2) .