Aloha :)
Der Kegel \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) hat seine Spitze am Koordinatenursprung und öffnet sich nach oben entlang der \(z\)-Achse. Der Kegel \(z=1-\sqrt{x^2+y^2}\) hat seine Spitze am Punkt \((0|0|1)\) und öffnet sich nach unten entgegen der \(z\)-Achse. Beide Kegel schneiden sich aus Symmetriegründen bei \(z=\frac{1}{2}\). Das eingeschlossene Volumen \(V\) können wir daher mit Hilfe von Zylinder-Koordinanten wie folgt parametrisieren:
$$V_1:\;\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\;;\;z\in\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]\;;\;r\in[0\;;\;z]\;;\;\varphi\in[0;2\pi[$$$$V_2:\;\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\;;\;z\in\left]\frac{1}{2}\;;\;1\right]\;;\;r\in[0\;;\;1-z]\;;\;\varphi\in[0;2\pi[$$\(V_1\) beschreibt die untere Hälfte des Volumens, \(V_2\) die obere Hälfte. Wenn wir uns nur für den Rand \(\partial V\) interessieren, muss \(r=z\) bzw. \(r=1-z\) festgehalten werden.
Der Integrand sieht fürchterlich aus. Daher nutzen wir aus, dass der Rand \(\partial V\) des Volumens geschlossen ist und wir deswegen den Gauß'schen Integralsatz \(d\vec A=dV\cdot\nabla\) anwenden können. Wir integrieren also nicht den Integranden über die Oberfläche, sondern die Divergenz des Integranden über das Volumen.
$$I:=\oint\limits_{\partial V}\vec K\,d\vec A=\int\limits_{V}\text{div}\vec K\,dV=\int\limits_{V}\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x+e^{(z^2)}\\x^2-y^2+z^2\\1-xyz\end{array}\right)\,dV$$$$\phantom{I}=\int\limits_V\left(1-2y-xy\right)\,dV$$Da wir oben das Volumen \(V\) mittels Zylinder-Koordinaten parametrisiert haben, gehen wir bei der Berechnung des Integrals auch dazu über. Dann wird das Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) und das Integral spaltet sich, wegen \(V=V_1+V_2\) in 2 Volumenintegrale auf:
$$I=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{1/2}dz\int\limits_0^zdr\,r\left(1-2r\sin\varphi-r^2\sin\varphi\cos\varphi\right)$$$$\phantom{I}+\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{1/2}^1dz\int\limits_0^{1-z}dr\,r\left(1-2r\sin\varphi-r^2\sin\varphi\cos\varphi\right)$$Es bietet sich an, zuerst die Integration über \(d\varphi\) durchzuführen. Dieser Schritt ist für beide Integrale gleich:$$\int\limits_0^{2\pi}r\left(1-2r\sin\varphi-r^2\sin\varphi\cos\varphi\right)\,d\varphi=\left[r\varphi+2r^2\cos\varphi+\frac{1}{2}r^3\cos^2\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}$$$$=\left(2\pi r+2r^2+\frac{r^3}{2}\right)-\left(0+2r^2+\frac{r^3}{2}\right)=2\pi r$$Damit vereinfachen sich die beiden Integrale von oben drastisch:
$$I=\int\limits_0^{1/2}dz\int\limits_0^zdr\,2\pi r+\int\limits_{1/2}^1dz\int\limits_0^{1-z}dr\,2\pi r=2\pi\int\limits_0^{1/2}dz\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^z+2\pi\int\limits_{1/2}^1dz\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{1-z}$$$$\phantom{I}=2\pi\int\limits_0^{1/2}\frac{z^2}{2}dz+2\pi\int\limits_{1/2}^1\frac{(1-z)^2}{2}dz=\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_0^{1/2}+\pi\left[-\frac{(1-z)^3}{3}\right]_{1/2}^1$$$$\phantom{I}=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$$
