Aloha :)
$$y=3x^2+9x+3=3\cdot\left[x^2+3x+1\right]$$
Die quadratische Ergänzung bekommst du, indem du die Zahl vor dem \(x\) halbiert und anschließend quadrierst. Hier ist sie also \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\). Diese baust die wie folgt in die Parabel ein:
$$y=3\cdot\left[x^2+3x+\underbrace{\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{0}+1\right]$$
Die quadratische Ergänzung ist genau so gewählt, dass du ein Binom bilden kannst:
$$y=3\cdot\left[\underbrace{x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2}\underbrace{-\left(\frac{3}{2}\right)^2+1}_{=-\frac{9}{4}+1}\right]$$Wegen \(-\frac{9}{4}+1=-\frac{5}{4}\) erhalten wir:
$$y=3\cdot\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right]$$$$y=3\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{15}{4}$$Der Scheitelpunkt ist dort, wo das Quadrat \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\) zu Null wird:$$S\left(-\frac{3}{2}\;|\;-\frac{15}{4}\right)$$
~plot~ 3x^2+9x+3; [[-3,5|1|-4|3]] ~plot~
