Was du tun sollst, ist doch ganz einfach: Die multiplikativen Inversen bestimmen, das heißt im Fall der \(14\) ist das \(a \in \mathbb Z / 33 \mathbb Z \) gesucht mit \(14 \cdot a = 1 \). Wie man das dann bestimmt, ist eine andere Sache, aber ist die Aufgabenstellung jetzt klar?
Allgemein geht so etwas immer mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus, denn der gibt uns für natürliche Zahlen \(a\) und \(b\) eine ganzzahlige Linearkombination des größten gemeinsamen Teilers, d.h. wir bekommen damit \(u, v \in \mathbb Z\) mit
$$ \operatorname{ggT}(a, b) = ua + vb. $$
Das genügt uns schon zur Bestimmung des multiplikativen Inversen, denn: Gilt für \(a \in \mathbb Z / 33 \mathbb Z\) auch \( \operatorname{ggT}(a, 33) = 1 \), finden wir mit dem EEA ganzzahlige \(u, v \in \mathbb Z\) mit
$$ 1 = ua + v \cdot 33 \equiv ua \pmod{33} \iff a^{-1} \equiv u \pmod{33} $$
und damit ist das \(u\) das gesuchte multiplikative Inverse. Hier konkret ergibt sich wegen \(\operatorname{ggT}(14, 33) = 1\) mit dem EEA
$$ 1 = -7 \cdot 14 + 3 \cdot 33 $$
und damit \( 14^{-1} \equiv -7 \equiv 33 - 7 \equiv 26 \pmod{33} \). Mit Symmetriebetrachtungen kommt man damit auch auf \(19^{-1}\), denn es gilt
$$14 \equiv -19 \pmod{33}$$
und damit
$$ 19^{-1} \equiv -14^{-1} \equiv -26 \equiv 7 \pmod{33}. $$
Eleganter geht es mit dem Satz von Euler: Danach gilt für alle \(a \in \mathbb Z / n \mathbb Z\)
$$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \iff a^{\varphi(n) - 1} \equiv a^{-1} \pmod{n} $$
Weißt du jetzt \( \varphi(33) = 20 \) oder kannst es nachsehen, ergibt sich \( a^{-1} \equiv a^{19} \equiv 26 \pmod{33} \) in \(\mathbb Z / 33 \mathbb Z\). Das setzt natürlich Wissen über die Eulersche Phi-Funktion und einen Rechner voraus. Beides ist nicht unbedingt gegeben.
