Potenzreihe bestimmen:
∑n=0∞(−1)n42nxn \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4^{2 n}} x^{n} n=0∑∞42n(−1)nxn
Ich habe Radius = 16, aber ich weiss nicht warum nachstehend ∑(-x/16) ist und nicht ∑(x/16).
f(x)=∑n=0∞(−1)n42nxn=∑n=0∞(−x16)n f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4^{2 n}} x^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{16}\right)^{n} f(x)=n=0∑∞42n(−1)nxn=n=0∑∞(−16x)n
Aloha :)
Dein Umformungsschritt geht so:(−1)n42nxn=(−1)n(42)nxn=(−1)n16nxn=(−116x)n=(−x16)n\frac{(-1)^n}{4^{2n}}x^n=\frac{(-1)^n}{\left(4^2\right)^n}x^n=\frac{(-1)^n}{16^n}x^n=\left(\frac{-1}{16}x\right)^n=\left(-\frac{x}{16}\right)^n42n(−1)nxn=(42)n(−1)nxn=16n(−1)nxn=(16−1x)n=(−16x)nFür den Konvergenzradius gilt hier:r=1limn→∞∣an∣n=1limn→∞142nn=1limn→∞(142)=1116=16r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4^{2n}}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4^2}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16r=n→∞limn∣an∣1=n→∞limn42n11=n→∞lim(421)1=1611=16
Hallo
(-1)n/an=(-1/a)n oder an/bn=(a/b)n für alle a,b aus R
Gruß lul
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