Question

 Bestimmen Sie alle Vektoren ,die zu ⃗a→und zu ⃗b→orthogonal sind


a (1/2/3)
b (2/0/3)

gibt es dann nicht x1+2x2+3x3=0

2x1+3x3=0 und dann?

Answer 1

Hallo,

berechne das Kreuzprodukt von a und b.

Answer 2

Aloha :)

Das Vektorprodukt steht senkrecht auf den Vektoren, aus denen es berechnet wird.

$$\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2\\0\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-0\\6-3\\0-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\3\\-4\end{array}\right)$$Damit stehen alle Vektoren$$\vec a_s=s\cdot\left(\begin{array}{c}6\\3\\-4\end{array}\right)\quad;\quad s\in\mathbb{R}$$senkrecht auf \((1,2,3)\) und \((2,0,3)\).

Answer 3

Am einfachsten über das Kreuzprodukt.

[1, 2, 3] ⨯ [2, 0, 3] = [6, 3, -4]

k * [6, 3, -4] mit k ≠ 0 ist daher senkrecht zu beiden Vektoren.

Leider wollen das Lehrer manchmal nicht. Dann muss man ein Gleichungssystem bemühen

[1, 2, 3] * [x, y, z] = 0
[2, 0, 3] * [x, y, z] = 0 --> x = -1.5·z

[1, 2, 3] * [-1.5·z, y, z] = 0 --> y = -0.75·z

Also ist [-1.5·z, -0.75·z, z] senkrecht zu beiden Vektoren. Für z = -4 ergibt sich hier auch der obige Vektor.

Answer 4

Hallo Anna,

gibt es dann nicht x1+2x2+3x3=0
2x1+3x3=0 und dann?

.. ja dann ziehe doch beide Gleichungen von einander ab. Du erhältst:$$-x_1 + 2x_2 = 0$$Da ist noch eine Variable zu viel - so setze \(x_2=t\) und daraus folgt \(x_1 = 2t\). Wenn man dann beides in eine der beiden obigen Gleichungen einsetzt, erhält man noch $$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 2t + 2t + 3x_3 &= 0 \\ x_3 &= - \frac 43 t \end{aligned}$$Somit ist der gesuchte Vektor, der senkrecht auf \(a\) und  \(b\) steht$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t\\ t\\ - \frac 43 t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -\frac 43\end{pmatrix} t = \begin{pmatrix}6\\ 3\\ -4\end{pmatrix} \frac t3$$jedes Vielfache von \((6|3|-4)\).