Drei Punkte sind gegeben:
A(0|0); B(45|0); S(x_S|22)
Da die Parabel achsensymmetrisch zur Geraden durch den Scheitelpunkt verläuft, muss x_S genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen.
x_S=45/2=22,5
y=a(x-x_S)^2+y_S
S(22,5|22) → y=a(x-22,5)^2+22
A(0|0) → 0=a(0-22,5)^2+22 → a=-22/22,5^2=-0.04345679012
y=-0.043457(x-22.5)^2+22
Ausmultipliziert:
y=1.95556 x - 0.043457 x^2
y'=1.95556 - 0.086914 x
Für x=0 : m=1.95556
--> Abwurfwinkel arctan1.95556 = 62,92°
---------------------------------
Für Abwurfhöhe 1,70m:
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
$$A(0|1,70) \Rightarrow c=1,70$$
$$B(45|0) \Rightarrow f(45)=0=45^2a+45b+1,70=2025a+45b+1,70$$
Höchster Punkt S(x_S|22)
$$f'(x_S)=0=2ax_S+b\Rightarrow b=-2ax_S$$
$$f(x_S)=22=ax_S^2+bx_S+1,70\Rightarrow 20,3=ax_S^2-2ax_S^2=-ax_S^2\Rightarrow a=-\frac{20,3}{x_S^2}$$
$$b=-2ax_S=\frac{40,6}{x_S}$$
$$0=2025a+45b+1,70=2025\cdot(-\frac{20,3}{x_S^2})+45\cdot\frac{40,6}{x_S}+1,7$$
$$ 0=1.7 - 41107.5/x^2 + 1827/x \Rightarrow x_S\approx 22.0477 ~~~~\text{Negative Lösung entfällt.} $$
$$ f(x)=-0.04176x^2+1.84146x+1.7 $$
