Unterscheide in die Fälle m=0, m>0 und m<0. Für m=0 zeigt sich sofort, dass es gilt. Für m>0 kannst du es mittels vollständiger Induktion beweisen:
Induktionsanfang: (xn)1=xn=xn⋅1
Induktionsvoraussetzung: (xn)m=xn⋅m
Induktionsschluss: (xn)m+1=(xn)m⋅xnIV=xnm⋅xn=xnm+n=xn(m+1)
Für den Fall, dass m<0 ist kannst du -m'=m wieder als eine natürliche Zahl annehmen und es für deine Definition von negativen Exponenten nutzen. Auch dazu kannst du analog einen Induktionsbeweis verwenden, ähnlich dem vorherigen.