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Aufgabe:Hallo zusammen,

kennt jemand adäquate Defintionen für geläufige geometrischen Abbildungsbegriffe, jedoch für die Dreidimensionalität?

Also für: Drehung, Parallelverschiebung, Gleitspiegelung, Punktspiegelung

Es geht dabei um eine einfache Darstellungsform ala" wie wird zu irgend einem Punkt X im Raum der Punkt XY konstruiert?"

Vielen Dank im Voraus.


Problem/Ansatz:

Ich weiß bisher nur, dass eine Achsenspiegelung im dreidimensionalen Raum eine Drehung um 180 Grad um die Spiegelachse ist, doch ich kann dadurch nicht auf die anderen Definitionen schließen.

von

Hallo

  meinst du Definitionen oder Anweisungen bzw. Rezepte?

lul

Hallo,

Es geht um analoge Definitionen der Begriffe für den 3d-Raum, so einfach wie möglich nach dem o.g. Muster "Wie wird aus Punkt P der Bildpunkt PX konstruiert" Zudem soll man von der Definition eines Begriffs auf die anderen schließen (können).

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Sven,

IMHO gibt es keine 'analogen Definitionen', da sich alle vier Begriffe auf Abbildungen beziehen, die  bei ausreichender Abstraktion unabhängig von der Dimensionalität sind.

Ich weiß bisher nur, dass eine Achsenspiegelung im dreidimensionalen Raum eine Drehung um 180 Grad um die Spiegelachse ist

Das könnte man so sehen, muss man aber nicht. Eine Spiegelung an einer Achse in 2D kann genauso gut als eine Spiegelung an einer (Spiegel-)Ebene gesehen werden, die senkrecht (in 3D) auf der 2-dimensionalen Ebene steht, in der man die Abbildung betrachtet. Das ganze wird u.U. klarer, wenn man sich die zugehörige Matrix der Abbildung betrachtet. Eine Spiegelung lässt sich definieren als eine Abbildung \(\vec x \to \vec x'\) mit $$\vec x' = M \cdot \vec x, \quad M = \left[\, \underline{1} - 2 \frac{\vec{n}\cdot \vec{n}^T}{\vec{n}^2}  \right]$$\(\vec n\) ist ein Normalenvektor der Spiegelachse oder der Spiegelebene oder auch der Hyperebene, in einem Raum mit mehr als 3 Dimensionen. Das heißt die Abbildung 'Spiegelung' ändert sich nicht, wenn man von 2D zu 3D oder höher dimensionalen Räumen übergeht.

Für die Drehung gilt dies im Prinzip genauso. Hier ist $$\vec x' = R_\alpha \cdot \vec x$$wobei \(R_\alpha\) die Drehmatrix ist. Der Punkt, um den in 2D gedreht wird, mutiert in 3D zur Achse, die senkrecht auf der 2-dimensionalen Ebene steht.

Das gilt in ähnlicher Weise für die anderen drei Abbildungen. Eine Parallelverschiebung (Translation) ist trivial. Eine Gleitspiegelung ist eine Kombination von Spiegelung und Parallelverschiebung. Eine Punktspiegelung (am Ursprung) ist schlicht:$$\vec x' = - \vec x$$und damit völlig unabhängig von der Dimensionalität.

von 26 k

Vielen Dank!

Wenn ich das richtig verstehe und vereinfacht sage, ändert sich bei Parallelverschiebung, Gleitspiegelung und Punktspiegelung im dreidimensionalen Raum also gar nichts.

Bei den anderen beiden werden die Spiegel-Achse durch eine Spiegel-Ebene (Achsenspiegelung) und der Drehpunkt durch eine Achse (Drehung) ersetzt?

im Prinzip ja. Wobei Spiegel-Ebene und Dreh-Achse auch in 2D 'gedacht' werden können. Man muss einfach nur außerhalb der 'Papier-'Ebene weiter denken.

Bleibt vielleicht noch zu erwähnen, dass jede Spiegelung (nicht Punktspiegelung) als Spiegelung an einer Hyperebene gesehen werden kann (Eine Gerade ist eine Hyperebene in 2D). Und jede Konkruenzabbildung (Spiegelung, Drehung, Punktspiegelung, u.a.) ist eine Kombination von maximal drei Spiegelungen.

Also ändert sich mit einer Dimension mehr im Prinzip nichts!

Erst einmal Vielen Dank für die prompte Antwort!

Das Denken über die Papier-Ebene hinaus ist mir klar, das ist eine gute Veranschaulichung.

Der Inhalt ihres zweites Absatzes ist also eine weitere Begründung dafür, dass sich bei einer zusätzlichen Dimension im Prinzip bei ALLEN Kongruenzabbildungen nichts ändert?
(Ich frage deshalb, weil ich Ihre Hinweise zur Hyperebene und zur Kombination von drei Spiegelungen leider im Moment nicht direkt deuten kann)

Ja  - es ist auch eine weitere Begründung.

weil ich Ihre Hinweise zur Hyperebene und zur Kombination von drei Spiegelungen leider im Moment nicht direkt deuten kann

macht nichts! Das kommt schon noch. Vielleicht als Anregung: schaue Dir mal diesen oder diesen Beitrag an. Das mit den Matrizen musst Du dazu nicht genau verstehen.

Dankeschön!


Ich behandle die Achsenspiegelung aktuell nach der wortwörtlichen Definition:

Für jeden Punkt P auf der Geraden a gilt P`= P , d.h. die Gerade a besteht nur aus Fixpunkten,  a ist eine Fixpunktgerade oder Achse.

Für Punkte P außerhalb von a gilt:Die Achse a steht senkrecht zur Strecke PP` und sie halbiert die selbige.


Wie könnte ich denn diese Definition zu meiner Veranschaulichung für den dreidimensionalen Raum umformen? (soweit es möglich ist)

Ersetze schlicht 'Gerade' (bzw. Achse) durch Ebene:

Für jeden Punkt P auf der Ebene (Geraden) a gilt P`= P , d.h. die Ebene (Gerade) a besteht nur aus Fixpunkten,  a ist eine Fixpunktebene (-gerade) oder Ebene (Achse).

Für Punkte P außerhalb von a gilt:Die Ebene (Achse) a steht senkrecht zur Strecke PP` und sie halbiert die selbige.

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