Bestimmen Sie den größten Wert, den die Funktion f auf M annimmt.

Question

Gegeben seien die Kreislinie M:= {(x,y) € R² I x²+y² = (13/4)} und die Funktion f: M -> R: (x,y) -> -(5/2)+3x -2y.

Bestimmen Sie den größten Wert, den die Funktion f auf M annimmt.

max((x,y)€ M ) f(x,y)= ?

Muss ich hier einmal Ableiten dann gleich null stellen?

also nachdem Hochpunkt suchen?

Answer 1

Zwei Optionen:

Du arbeitest mit Lagrange-Multiplikatoren

Du stellst \(x^2+y^2=\frac{13}{4}\) nach y um, also \(y=\pm \sqrt{\frac{13}{4}-x^2}\) und setzt einmal die negative und einmal die positive Lösung in die Funktion ein und untersuchst dann das Maximum/Minimum mit den Werkzeugen aus der Anlysis im Eindimensionalen.

Comments

Mein versuch

Ist das richtig so?

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Muss ich das ableiten und gleich 0 stellen?

Text erkannt:

1
\( x \)
\( \sim x \)
\( < \)
1
\( \mathbb{K} \)
\( \sim \)
1
\( x \)
is
$$ r $$

---

Deine Rechnung (auf den ersten Blatt) ist richtig bis \(2x+3y=0\). Dies muss man in die Nebenbedingung einsetzen:$$\begin{aligned}2x+3y&=0 \implies x = - \frac 32 y \\ x^2 + y^2 &= \frac {13}4 \\ \frac 94 y^2 + y^2 &= \frac {13}4 \implies y_{1,2} = \pm 1\end{aligned}$$Daraus folgen die beiden Lösungen \((-3/2;\, 1)\) und \((3/2;\, -1)\). Setzt Du die beiden Koordinaten in die zu optimierende Funktion \(f\) ein, so siehst Du wo das Maximum und wo das Minimum ist.

Mache Dir das am besten graphisch klar:

~plot~ sqrt(13/4-x^2);-sqrt(13/4-x^2);(3x-5/2)/2;{3/2|-2/2};[[-3|3|-2|2]] ~plot~

Die grüne Gerade ist das 0-Niveau der Funktion \(f\). \(f\) bildet eine Ebene im \(\mathbb R^3\), die in Richtung \((3;\,-2)\) ansteigt (nach rechts unten). Das Maximum liegt also bei \((3/2;\, -1)\)

Answer 2

Wenn es hier um analytische Übungen handeln soll, halte ich mich raus.

Wenn es um einen möglichst effektiven Lösungsweg (ohne dafür unnötigen Lagrange- und Ableitungszirkus) geht:

-(5/2)+3x -2y=c beschreibt eine Geradenschar. Alle Geraden dieser Schar haben den gleichen Anstieg 1,5.

Es gibt zwei Werte c, für die eine Gerade dieser Schar eine Tangente am Kreis ist. Du suchst den größeren der beiden Werte...

Comments

Also deine methode kenn ich leider gar nicht.

Kannst du mir bitte auch die lösung zeigen.

Muss leider bis mitternacht abgeben^^

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ist mein vorgehen bis davor richtig gewesen?

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Ich habe noch das hier gerechnet :)

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Kannst du mir bitte die lösung von dieser aufgabe saagen?

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Ich habe 0,5 * wurzel (13) heraus bekommen

Ist das richtig?

Answer 3

Die Aufgabe ist recht abstrakt
mein Vorschlag

Es ergibt sich
x = 1.621
y = 0.788
in f eingesetzt = 1.3882

Rechenweg
y aus 1 in 2 eingesetzt
Schnittpunkt y = f berechnen => x und y
x und y in Ausgangs-f einsetzen

mfg Georg

Comments

Quadratische Gleichungen haben manchmal zwei Lösungen.

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Ich habe mir den Sachverhalt nochmals
überlegt :
In einem Koordinatensystem befindet sich
ein Kreis.
Jedem Punkt auf dem Kreis ist ein Funktionswert f ( x,y ) zugeordnet
Es wird der max Funktionswert gesucht
Vorgehensweise :
Kreisgleichung nach y umstellen
Den y-Wert in f einsetzen. Es bleibt
f ( x )
1.Ableitung und den Extremwert
bestimmen

Soweit das Grundsätzliche.

Die 2.Lösung
y = minus sqrt(13/4 -x^2);
muß auch noch berechnet werden
und die Art der Extrempunkte
festgestellt werden