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Bestimmen Sie die Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion

ρ=8+x+y \rho=8+x+y
der von dem Paraboloid
f(x,y)=16x2y2 f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}
und die xy x y -Ebene begrenzt wird.

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Aloha :)

Wegen f(0,0)=16f(0,0)=16 befindet isch der Paraboloid oberhalb der xyxy-Ebene. Das führt auf folgende Randbedinung:0!f(x,y)=16x2y2x2+y2160\stackrel{!}{\le}f(x,y)=16-x^2-y^2\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2\le16Wegen z=f(x,y)=16(x2+y2)z=f(x,y)=16-(x^2+y^2) können hier Zylinderkoordinaten die Berechnung erleichtern:r=(rcosφrsinφz);r[0;4]    ;    φ[0;2π]    ;    z[0;16r2]\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;4]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]\;\;;\;\;z\in[0;16-r^2]Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet:dV=dxdydz=rdrdφdzdV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dzDamit können wir die Masse MM berechnen:M=04drr016r2dz02πdφ(8+rcosφ+rsinφ)M=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\int\limits_0^{2\pi}d\varphi(8+r\cos\varphi+r\sin\varphi)M=04drr016r2dz[8φ+rsinφrcosφ]02π\phantom{M}=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\,\left[8\varphi+r\sin\varphi-r\cos\varphi\right]_0^{2\pi}M=04drr016r2dz[(16πr)(r)]\phantom{M}=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\,\left[\left(16\pi-r\right)-\left(-r\right)\right]M=16π04drr016r2dz=16π04drr(16r2)=16π[8r2r44]04\phantom{M}=16\pi\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz=16\pi\int\limits_0^4dr\,r(16-r^2)=16\pi\left[8r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^4M=16π(12864)=1024π\phantom{M}=16\pi\left(128-64\right)=1024\,\pi

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mit z=f(x,y) als Begrenzung musst du das dreifachintegral über die Dichte bestimmen, denn dm=ρ*dV

vielleicht lohnen sich Zylinderkoordinaten dann hast du als Fläche z=16-r2 und du musst über r,phi, z integrieren.

Gruß lul

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Vielleicht so

4·∫ (0 bis √16) (∫ (0 bis √(16 - x2)) (∫ (0 bis √(16 - x2 - y2)) (8 + x + y) dz) dy) dx = 1408/3·pi ≈ 1474

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