Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion berechnen

Question

Bestimmen Sie die Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion

$$\rho=8+x+y$$
der von dem Paraboloid
$$f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}$$
und die $x y$ -Ebene begrenzt wird.

Answer 1

Aloha :)

Wegen $f(0,0)=16$ befindet isch der Paraboloid oberhalb der $xy$-Ebene. Das führt auf folgende Randbedinung:$$0\stackrel{!}{\le}f(x,y)=16-x^2-y^2\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2\le16$$Wegen $z=f(x,y)=16-(x^2+y^2)$ können hier Zylinderkoordinaten die Berechnung erleichtern:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;4]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]\;\;;\;\;z\in[0;16-r^2]$$Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit können wir die Masse $M$ berechnen:$$M=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\int\limits_0^{2\pi}d\varphi(8+r\cos\varphi+r\sin\varphi)$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\,\left[8\varphi+r\sin\varphi-r\cos\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz\,\left[\left(16\pi-r\right)-\left(-r\right)\right]$$$$\phantom{M}=16\pi\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_0^{16-r^2}dz=16\pi\int\limits_0^4dr\,r(16-r^2)=16\pi\left[8r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^4$$$$\phantom{M}=16\pi\left(128-64\right)=1024\,\pi$$

Answer 2

mit z=f(x,y) als Begrenzung musst du das dreifachintegral über die Dichte bestimmen, denn dm=ρ*dV

vielleicht lohnen sich Zylinderkoordinaten dann hast du als Fläche z=16-r² und du musst über r,phi, z integrieren.

Gruß lul

Answer 3

Vielleicht so

4·∫ (0 bis √16) (∫ (0 bis √(16 - x²)) (∫ (0 bis √(16 - x² - y²)) (8 + x + y) dz) dy) dx = 1408/3·pi ≈ 1474