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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{2+3 x^{3}}{3 x^{2}} . \) Wie lautet die erste Ableitung \( f^{\prime}(x) \) an der stelle \( x=-0.81 ? \)
a. 3.51
b. 10.53
c. 8.76
d. -2.84
e. 1.74

Problem/Ansatz:

ich habe mit der Formel (u' * v - v' * u) / (v²) gerechnet. Komme aber immer auf falsche Ergebnisse.

Meine Ableitung ist: f'(x) = (9x²*3x²-6x*(2+3*x³)) / (3*x²)² -> wenn ich -0,81 einsetze komme ich auf alles mögliche außer die oben genannten Antworten.

vor von

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Beste Antwort

Hi,

ich habe Deine Ableitung jetzt nicht kontrolliert, das geht hier aber ohnehin deutlich einfacher. Splitte den Bruch auf und leite dann ab:

\(f(x) = \frac{2+3x^3}{3x^2} = \frac{2}{3x^2} + x\)


Du kommst damit weiter?


Grüße

vor von 137 k 🚀

Was passiert mit 3x³?

Du kannst es auch so schreiben:

\(g(x) = \frac23\cdot\frac{1}{x^2} = \frac23\cdot x^{-2}\) (nach \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\))

Folglich

\(g'(x) = \frac23\cdot(-2)\cdot x^{-3} = -\frac43 x^{-3} = -\frac{4}{3x^3}\)

d.h. -4/3x³ ist nur ein teil der Ableitung? Ich müsste jetzt noch 3x³ ableiten? Oder denke ich da zu kompliziert?


Du hast nun den ersten Summanden abgeleitet. Du musst nun noch x ableiten

\(f(x) = \frac{2+3x^3}{3x^2} = \frac{2}{3x^2} + x = g(x) + x\)

Also: \(f'(x) = -\frac{4}{3x^3} + 1\)

Es tut mir so leid, aber ich verstehe hier nur Bahnhof.

Warum wird aus 2+3x³ / 3x² zu 2/3x² + x ???

Es tut mir so leid, aber ich verstehe hier nur Bahnhof.

Warum wird aus 2+3x³ / 3x² zu 2/3x² + x ???

Du kannst einen Bruch auseinander nehmen nach der Regel:

\(\frac{a+b}{c} = \frac ac + \frac bc\)

In unserem Fall macht das Sinn, weil man dann kürzen kann und die Ableitung relativ einfach wird. Ohne groß die Quotientenregel zu bemühen.

Ach so. aus 3x³ wird dann x. Weil man 3x³ mit 3x² kürzen kann auf x.

Dankeschön

Wie leitet man dann ab? Bzw. wie kommt man dann auf 4 und 3x³?

Sry, war einkaufen und essen.


Hast Du es mittlerweile nachvollziehen können? Das Vorgehen steht in meinem ersten Kommentar. Schau da nochmals :).

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Soweit ich es überblicke ist die Ableitung richtig, du hast dich also verrechnet, oder die Vorgabe ist falsch. Nun ist mir das alles zu kompliziert, darum wähle ich folgenden Ansatz.

f(x) =(2/3)x^-2+x

f'(x)=(-4/3)x^-3+1

Du kannst, ja da mal x=-0.81einsetzen.

Dann ist doch 3.51eine gute Näherung von 3,50890....

Die Vorgabe ist also nicht falsch.

vor von

Leider kann ich mit dieser Methode nichts anfangen. Du formelst das um, damit keine Brüche in der Formel sind. Ich hab aber keine Ahnung wie man das macht.

Distrubitivgesetz:

(a+b)*c=a*c +b *c

hier ist a = 2

b=3x3

c=1/(3x2) =1/3 * x-2

aus

f(x) = (2+3x3)/3x2

folgt

f(x)=2/3 x-2 + x

f'(x) =4/3 x-3 + x

oder lag es an 1/x2 = x-2

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