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Aufgabe:

Tennisballwurfmaschine


Problem/Ansatz:

Die Maschine setzt er auf eine T-Linie und stellt sie so ein, dass die Flugbahn des Tennisballes über dem Netz denhöchsten Punkt 1,2m hat. Der Ball schießt dabei aus einer Höhe von 1m aus der Maschine. Landen die Bälle noch im Feld?

Beigelegt ist noch eine Skizze: Von einem Ende der T-Linie bis zum Netz sind es 6,4m. Das gesamte Feld, eingerechnet das "Aus" hinter der Maschine, ist 23,77 Meter lang.

Ein Ergebnis habe ich schon aber ich bin mir nicht sicher ,ob das so richtig ist: S (6,4 I 1,2) P (0 I 1)

y=a*(x-6,4)²+1,2

1=a*(0-6,4)²+1,2

1=40,96a +1,2     I-1,2

-0,2=40,96a        I :40,96

-0,004=a

a ist negativ also ist der Graph nach unten gerichtet, außerdem ist a kleiner als 1 also sehr langgezogen. Passt ja soweit auf die Situation zu. Jetzt habe ich 6,4+6,4= 12,8 gerechnet um die Länge beider T-Linien zu bestimmen, im Hinterkopf, dass wenn als y eine negative Zahl herauskommt, dass der Ball schon unter dem Erdboden wäre also schon längst IM Feld aufgekommen. Wird das Ergebnis positiv, dann ist der Ball immer noch in der Luft. Man also davon ausgehen ,dass wenn der Ball die 12,8 Meter überschreitet, dass er auf jeden Fall im "Aus" landet, also nicht mehr im Feld.

y=-0,004*(12,8-6,4)²+1,2

y=-0,004*40,96+1,2

y=1,03

Der Ball ist also noch einen Meter in der Luft wenn er genau auf der Grenze liegt. Das bedeutet er fliegt noch weiter und ist jetzt außerhalb der T-Linie. Antwort: Der landet nicht mehr im Feld.

Ich weiß, dass man sich jetzt fragt,warum ich noch Hilfe brauche wo ich doch schon ein Ergebnis habe. Das Problem ist nur, das unser Buch keine Lösungen hat und diese Aufgabe hat mich noch die ganze Nacht beschäftigt, ob ich sie denn richtig gelöst habe. Bitte einfach nur um eine Bestätiung, dass ich es richtig gemacht habe und wenn nicht was ich falsch gemacht habe.

von

Vom Duplikat:

Titel: Funktionsgleichung in Scheitelpunktform oder Normalform aufstellen. Landen Tennisbälle im Feld?

Stichworte: normalform,scheitelpunktform,tennis,ball,feld

Bei dieser Aufgabe soll eine Funktionsgleichung aufgestellt werden, mit der ermittelt werden kann, ob die Bälle noch im Tennisfeld landen.

Ich habe diese Aufgabe mehrmals durchgerechnet, bin aber immer auf ein anderes Ergebnis gekommen, deswegen würde ich mir gerne eine oder mehrere Meinungen dazu anschauen.

Ich hoffe, das ihr mir helfen könnt.

Bild Mathematik

Aber muss ich die Klammer nicht als binomische formel ausrechnen?

Am besten betrachtest du das Netz an der Stelle x = 0, wie die Skizzen das hier auf der Seite zeigen. Dann hast du keine binomische Formel. Dann ist die Rechnung eigentlich sehr simpel und dann wärst du auch schon lange damit fertig.

5 Antworten

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Scheitelpunktform

f(x) = (1 - 1.2)/(6.4 - 0)^2·x^2 + 1.2

ausmultiplizieren

f(x) = 6/5 - 5·x^2/1024

Probe

f(-6.4) = 1

f(0) = 1.2

f(23.77/2) = 0.5

Über der Grundlinie haben die Bälle noch eine Höhe von 50 cm. Landen also nicht im Feld.

von 446 k 🚀

Wie kommst du darauf, dass ich das ausmultiplizieren muss und was bedeuten die slash's zwischen den Zahlen ?

Das / steht für ein geteilt.

ausmultiplizieren tut man nur damit es etwas einfacher dort steht.

Scheitelpunktform

f(x) = - 0.2/6.4^2·x^2 + 1.2
f(x) = - 5/1024·x^2 + 6/5

Landen die Bälle noch im Feld

f(11.89) = 0.5097

Damit landen die Bälle leider hinter der gegnerischen Grundline und damit außerhalb des Feldes.

Das sieht also so aus

blob.png

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Hier noch die Lösung in der Normalform ohne die Scheitelpunktform
anzuwenden

Bekannt sind die Punkte
( 0  | 1.20 )
( 6.4  | 1 )

Allgemeine Form einer Parabel
f ( x ) = a * x ^2 + b * x + c

Der Scheitelpunkt ist bei x = 0 also entfällt b * x

f ( x ) = a * x ^2 + c
wenn x = 0 ist dann c = 1.2

f ( x ) = a * x^2 + 1.2

f ( 6.4 ) = a * 6.4^2 + 1.2 = 1

a * 6.4^2 + 1.2 = 1
a = -0.00488

f ( x ) = -0.00488 * x^2 + 1.2

von 122 k 🚀
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Ich lege das Netz auf die y-Achse und den Platz auf die x-Achse. Dann sieht die Flugbahn des Balles so aus:

blob.png

und hat die Gleichung f(x)= - \( \frac{0,2}{6,4^2} \) x2+1,2.

Zu berechnen ist jetzt die positive Nullstelle. Diese ist mit der Spielfeldlänge zu vergleichen.

von 113 k 🚀

Tut mir leid, aber was ist die positive Nullstelle?

Diese Parabel hat eine Nullstelle rechts von der y-Achse (und eine links von der y-Achse). Die Nullstelle rechts von der y-Achse ist die positive Nullstelle.

Das bedeutet ich muss 0 als y in die funktionsgleichung einfügen?

Ja,genau so:

0= - 0,2/6,42· x2+1,2

Dann ist x≈15.677die positive Nullstelle.

Wie weit ist die Auslinie von der Mittelllinie (Netz) entfernt?

Ich habe gerade ausgerechnet und raus kommt bei mir: 5,64 also als x wenn man 0 als y einsetzt. Also ist der Ball ja noch drin

Ich habe gerade ausgerechnet und raus kommt bei mir: 5,64 also als x wenn man 0 als y einsetzt. Also ist der Ball ja noch drin

Dann hast du dich verrechnet. Da du keine Rechnung beifügst können wir leider nicht sagen wo du den Fehler gemacht hast.

Tut mir leid, hier: 0=-0,004*(x-6,4)²+1,2

0=-0,004*x²-2*x*6,4+40,96+1,2

0=-0,004*x²-12,8x+42,16      I-42,16

-42,16=-0,004*x²-12,8x     I : (-0,004)

105400=x²+ 3200x   I Wurzel ausrechen

324,65= x+ 56,56x

324,65=57,56    I : 57,56

x=5,64

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Das Feld ist \( L = 23.77 \text{ Meter} \) lang. D.h bei Deiner Wahl des Koordinatenursprungs muss der Ball vor \( \left(6.4  +\frac{L}{2} = 18.285 \right) \text{ Meter}\) den Boden berühren, um noch im Feld zu landen.

Die Flugbahn lautet ja, wie Du berechnet hast $$  f(x) = a (x-6.4)^2+1.2 $$ mit \( a = -\frac{5}{1024} \approx 0.004883 \)

Jetzt musst Du bestimmen, für welchen Wert von \( x \) die Funktion \( f(x) = 0\) gilt. Ist dieser Wert kleiner als \( 18.285 \) landet der Ball im Feld, ansonsten außerhalb des Feldes.

Die Lösung ist dann \( x_{Boden} = \sqrt{ \frac{1.2}{0.004883} } +6.4 \)

von 39 k
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105400=x²+ 3200x I Wurzel ausrechen

324,65= x+ 56,56x

Dieser Schritt ist falsch. Zuhinterst hättest du dann nach deiner (falschen) Logik auch Wurzel aus x.

Du kannst gleich zu Beginn viel einfacher rechnen.

0=-0,004*(x-6,4)²+1,2

ist noch eine Gleichung in der x nur an einer Stelle vorkommt. D.h. du kannst x Schritt für Schritt freistellen.

von 162 k 🚀

Aber muss ich die Klammer nicht als binomische formel ausrechnen?

0=-0,004*(x-6,4)²+1,2   |+0,004*(x-6,4)²

0,004*(x-6,4)² = 1,2       |: 0,004

(x-6,4)² = 1,2 / 0,004        | Wurzel

x - 6,4 = ± √ ( 1,2 / 0,004)

x = 6,4 ± √ (1,2 / 0,004) 

Rechts vom Gleichheitszeichen kannst du schon bei der Division durch 0,004 den Taschenrechner nehmen, falls dir die Sache zu kompliziert aussieht.

Lies unbedingt auch die andern Rechenwege genau durch und entscheide selbst, was am einfachsten ist.

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