Für welche n >9 gibt es derartige n-Ecke?

Question

Es gibt ein konvexes Neuneck, das sich vollständig in gleichseitige Dreiecke und Quadrate der gleichen Seitenläge zerlegen lässt:

Für welche n>9 gibt es derartige n-Ecke?

Comments

Gibt es Einschränkungen für das gesuchte \(n-\)Eck über die Zerlegung in gleichseitige Dreiecke und Quadrate hinaus? Muss es eine Rotationssymmetrie beinhalten?

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Ich würde herauslesen das es auch konkav sein soll.

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@Werner: Nein, Forderungen hinsichtlich der Symmetrie gibt es nicht. Alle Anforderungen an die gesuchten n-Ecke kann man dem Text entnehmen.

@Mathecoach: Nein, es soll konvex sein.

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n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

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Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben.

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Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben.

Nun ja - ich hätte das gleiche Ergebnis zu bieten und zusätzlich kann ich zeigen wie die n-Ecke aussehen und beweisen, dass die Liste vollständig ist. Wenn das bis morgen Abend keiner gemacht hat, präsentiere ich meine Lösung.

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Ich bin gespannt.

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Entschuldigt bitte meinen Schnellschuss, war überarbeitet und nicht ausgeschlafen, doch bevor ich mich nochmal verrenne eine Frage.

Müssen die Punkte alle in einer Ebene liegen?

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@Roland

"Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben."

Du bist sehr freigebieg , "Beste Antwort" Wenn 7 von 10 Möglichkeiten falsch sind.

Siehe Aufgabe n>9

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Siehe Aufgabe n>9

Es liegt in der Natur der Mathematiker Fragestellungen zu verallgemeinern.

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Ich habe übrigens n>9 gefunden, dazu habe ich mir regelmäßige n-ecke betrachtet, durch 2*n gleichseitige Dreiecke kann ich dann ein verschränktes Prisma erzeugen, diese n neuen Punkte liegen alle auf einer Ebene, nur eben nicht auf der Ebene der anderen n Punkte.

Das könnte ich auch auf n>2

verallgemeinern.

Doch die Lösung ist n-eck mit n<9

Answer 1

Lösung:

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n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

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Beweis:

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In einem konvexen n-Eck sind die Innenwinkel \( < 180° \). Die Winkelsumme beträgt \( (n-2) \cdot 180° \).

Aus gleichseitigen Dreiecken (Innenwinkel \( 60° \)) und Quadraten (Innenwinkel \( 90°\)) können \( 60° \), \( 90° \), \( 120° \) und \( 150° \) Winkel konstruiert werden. Die maximal mögliche Innenwinkelsumme ist somit \( n \cdot 150° \).

Der Existenzbeweis für \( n \in \{ 3,....,12 \} \) findet sich oben, als Grafik.

Für \( n > 12 \) kann es wegen \( n \cdot 150° < (n-2) \cdot 180° \) kein solches n-Eck geben.

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Comments

Das ist eine schöne Spielerei mit Quadraten und Dreiecken.

Gefällt mir, danke, auch für die 7 "falschen" Lösungen.

Answer 2

Ich ziehe meinen Beitrag zurück.

War zu schnell.

Comments

Mach das mal für n=15.

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Für alle Teiler von 60 größer 2

\(9\) ist - glaube ich - kein Teiler von \(60\) ;-)

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Habe ich auch gemerkt, und verbessert . Schon ein 4eck ging nicht.

Es muss gelten 360/n = 60*k

k=1 n =6

k= 2  n=3

k=3 geht schon nicht.

k=0 n=∞

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Für k=3 besteht die Zerlegung aus dem gleichseitigen Dreieck.

Für k=4 besteht die Zerlegung aus dem Quadrat.