+2 Daumen
185 Aufrufe

Es gibt ein konvexes Neuneck, das sich vollständig in gleichseitige Dreiecke und Quadrate der gleichen Seitenläge zerlegen lässt:

blob.png
Für welche n>9 gibt es derartige n-Ecke?

von 85 k 🚀

Gibt es Einschränkungen für das gesuchte \(n-\)Eck über die Zerlegung in gleichseitige Dreiecke und Quadrate hinaus? Muss es eine Rotationssymmetrie beinhalten?

Ich würde herauslesen das es auch konkav sein soll.

@Werner: Nein, Forderungen hinsichtlich der Symmetrie gibt es nicht. Alle Anforderungen an die gesuchten n-Ecke kann man dem Text entnehmen.

@Mathecoach: Nein, es soll konvex sein.

[spoiler]

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

[/spoiler]

Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben.

Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben.

Nun ja - ich hätte das gleiche Ergebnis zu bieten und zusätzlich kann ich zeigen wie die n-Ecke aussehen und beweisen, dass die Liste vollständig ist. Wenn das bis morgen Abend keiner gemacht hat, präsentiere ich meine Lösung.

Ich bin gespannt.

Entschuldigt bitte meinen Schnellschuss, war überarbeitet und nicht ausgeschlafen, doch bevor ich mich nochmal verrenne eine Frage.

Müssen die Punkte alle in einer Ebene liegen?

@Roland

"Wenn das eine Antwort gewesen wäre, hätte ich das Prädikat "Beste" vergeben."

Du bist sehr freigebieg , "Beste Antwort" Wenn 7 von 10 Möglichkeiten falsch sind.

Siehe Aufgabe n>9

Siehe Aufgabe n>9

Es liegt in der Natur der Mathematiker Fragestellungen zu verallgemeinern.

Ich habe übrigens n>9 gefunden, dazu habe ich mir regelmäßige n-ecke betrachtet, durch 2*n gleichseitige Dreiecke kann ich dann ein verschränktes Prisma erzeugen, diese n neuen Punkte liegen alle auf einer Ebene, nur eben nicht auf der Ebene der anderen n Punkte.

Das könnte ich auch auf n>2

verallgemeinern.

Doch die Lösung ist n-eck mit n<9

2 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Lösung:

[spoiler]

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pic.png

[/spoiler]

Beweis:

[spoiler]

In einem konvexen n-Eck sind die Innenwinkel \( < 180° \). Die Winkelsumme beträgt \( (n-2) \cdot 180° \).

Aus gleichseitigen Dreiecken (Innenwinkel \( 60° \)) und Quadraten (Innenwinkel \( 90°\)) können \( 60° \), \( 90° \), \( 120° \) und \( 150° \) Winkel konstruiert werden. Die maximal mögliche Innenwinkelsumme ist somit \( n \cdot 150° \).

Der Existenzbeweis für \( n \in \{ 3,....,12 \} \) findet sich oben, als Grafik.

Für \( n > 12 \) kann es wegen \( n \cdot 150° < (n-2) \cdot 180° \) kein solches n-Eck geben.

[/spoiler]

von

Das ist eine schöne Spielerei mit Quadraten und Dreiecken.

Gefällt mir, danke, auch für die 7 "falschen" Lösungen.

0 Daumen

Ich ziehe meinen Beitrag zurück.

War zu schnell.

von 4,4 k

Mach das mal für n=15.

Für alle Teiler von 60 größer 2

\(9\) ist - glaube ich - kein Teiler von \(60\) ;-)

Habe ich auch gemerkt, und verbessert . Schon ein 4eck ging nicht.

Es muss gelten 360/n = 60*k

k=1 n =6

k= 2  n=3

k=3 geht schon nicht.

k=0 n=∞

Für k=3 besteht die Zerlegung aus dem gleichseitigen Dreieck.

Für k=4 besteht die Zerlegung aus dem Quadrat.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community