Wie geht man bei der Abwicklung eines Lampenschirmes vor?

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Wie geht man bei der Abwicklung eines Lampenschirmes vor?

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Hallo Ommel,
hier zunächst die Skizze für den Vollkegel

Strahlensatz
h / 304 = ( h + 508 ) / 508
das erste 508 ist die untere Höhe,
das zweite 508 ist der untere Durchmesser.

h = 894.5 mm
insgesamt höhe = 508 + 894.5 = 1402.5 mm
insgesamt Mantellinie
m^2 = ( 508 / 2 )^2 + 1402.5 ^2
m^2 = 2031522
m = 1425 mm
wird der Kegel nun vom unteren Rand bis zur Spitze
aufgeschnitten ist m der Radius des abgewickelten
Teilkreises.

Da du sicherlich keinen Kegel fabrizieren willst ist es einfacher
zu berechnen
Umfang ( Voll-Kreis) = m *2 * pi = 8954 mm
Teilumfang unten = 508 * pi =1596 mm

Winkel des Teilkreises
360 / 8954 = x / 1596
x = 64 °

Jetzt muß das ganze noch für die Kegelspitze gemacht werden

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Beantwortet 5 Okt 2020 von georgborn

Warum ist die Gesamthöhe 1402,5mm nicht auch der große Radius?

Der 'große Radius' ( $|SD|$ in meiner Skizze) ist die Mantelline des Kegels und die Gesamthöhe ( $|SA|$ in meiner Skizze) ist die Höhe des Kegels. Bei geraden Kreiskegeln ist die Mantellinie immer länger als die Höhe.

Warum kann ich vom großen Radius = 1425mm nicht einfach 508mm Teilhöhe abziehen, um auf den inneren Radius zu kommen?

Die Teilhöhe 508mm (entspricht dem $|AB|$ in meiner Skizze) ist kürzer als das Stück $|CD|$ auf der Mantellinie. Schaue Dir bitte die beiden Bilder in meiner Antwort noch mal genau an.

Und - ganz wichtig(!) - zeichne sie selber nach. Am besten Du zeichnest es mal auf Papier, schneidest es aus und forme daraus einen Kegelstumpf. Tipp: mach es besser im Massstab 1:10, sonst wird das zu fipsig.

Kommentiert 6 Okt 2020 von Werner-Salomon

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Werner-Salomon · Answer 1 · 2020-10-05T13:12:37+0000

Hallo Ommel,

Was muss berechnet werden?

wenn es im Massstab 1:25 gezeichnet werden soll, so rechne zunächst die Längen in die zu zeichnenden Maße um: $D' = 2,032 \text{cm}, \quad d'=1,296 \text{cm}, \quad h' = 2,032 \text{cm}$

Wie zeichnet man eine Abwicklung davon?

Beginne damit, ein Trapez $ABCD$ zu zeichnen. Mit $|AB|=h'$ , $|AD|=D'/2$ und $|BC|=d'/2$ .

Die Spiegelung von $C$ und $D$ an $AB$ ist dann der vollständige Querschnitt durch den Lampenschirm. ( $C'$ und $D'$ brauchst Du aber nicht zeichnen). Die Gerade durch $AB$ ist die Rotationsachse des Kegelstumpf und die Verlängerung von $CD$ (die Mantellinie) schneidet die Rotationsachse in $S$ . $S$ ist die Spitze des zugehörigen Kegels.

Wenn man nun zwei Kreise mit den Radien $|SC|$ und $|SD|$ zeichnet, braucht man bloß noch den gelben Winkel $\varphi$ des Kreisringssektors. Der berechnet sich aus dem Verhältnis der Radien: $\varphi = \frac{\frac 12 D'}{|SD|} \cdot 360° \approx 64,2°, \quad |SD| \approx 5,7 \text{cm}$ zeichne den Winkel $\varphi = 64,2°$ bei $S$ ein. Sein Schenkel schneidet die beiden Kreise in $E$ und $F$ .

Die abgewickelte Fläche des Lampeschirms ist der Kreisringsektor $CEFD$ . Ich habe Dir zur Veranschaulichung noch den Deck- (hellblau) und Grundkreis (blau) hinzu gezeichnet. Der Umfang dieser Kreise muss genauso lang sein, wie der Kreisbogen gleicher Farbe.

... und zur weiteren Veranschaulichung das ganze in 3D:

klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck

Beantwortet 5 Okt 2020 von Werner-Salomon

Aber SD ist doch die Seitenlänge und kein Radius?

$\overline{SD}$ ist die Mantellinie des gesamten Kegels, wenn man sich den Kegelstumpf bis zur Spitze $S$ erweitert denkt.

Zum Verständnis ist es wichtig, das zweite Bild oben zu verstehen. Der Kegelstumpf (also der Lampenschirm) liegt auf der XY-Ebene und rollt in Richtung der X-Achse ab. Bei genau einer Umdrehung berührt er die lila markierte Fläche auf der XY-Ebene. Die Bahn, die der Kegelstumpf dabei zurück legt, ist eine Kreisbahn. Es ist die gleiche Kreisbahn, die ein vollständiger Kegel zurück legen würde, wenn er so abrollt. Die Spitze $S$ dieses Kegels läge dann genau im Ursprung bzw. im Mittelpunkt der Kreisbahn.

Wenn man sich nur den unteren - also größeren - Kreis am Kegelstumpf anschaut, so sieht man, dass dieser auf der Kreisbahn von $D$ nach $F$ abrollt. Im ersten Bild oben habe ich diesen Kreis blau gestrichelt markiert. Die Kreisbahn hat den Radius $|SD|$ und der zugehörige Kreis hätte den Umfang $2\pi |SD|$ . Der Umfang des blau gestrichelten Kreises hat den Umfang $2\pi D'/2$ .

Folglich entsprechen $2\pi |SD|$ dem Vollkreis - also 360° und $2\pi D'/2$ dem gesuchten Winkel $\varphi$ , der durch das Abrollen des Grundkreises auf der Kreisbahn $DF$ (blau) entsteht.

Also gilt für den Winkel $\varphi$ - gelb markiert im ersten Bild oben: $\frac{\varphi}{\pi D'} = \frac{360°}{2\pi |SD|} \implies \varphi = \frac{D'}{2 |SD|} \cdot 360°$ Wenn Du das Trapez $ABCD$ gezeichnet hast und den Punkt $S$ konstruiert hast, so kannst Du $|SD|$ einfach ausmessen $|SD| \approx 5,7\text{cm}$ .

Bem.: $D'$ ist der Durchmesser in der Zeichnung und $D$ ist ein Punkt. Bitte nicht verwechseln.

Kommentiert 6 Okt 2020 von Werner-Salomon

Trotzdem frage ich mich, warum der Teilauschnitt (bei mir AB) mit 508 * Pi berechnet wird.

Der Durchmesser $D$ des Grundkreises ist 508mm. Super dass Du Dir den Kegelstumpf gebastelt hast!

Messe doch mal den Durchmesser nach; er sollte bei Dir jetzt gut 50mm betragen. Markiere eine Stelle am Kegelstumpf und lege ihn so auf Deine Zeichnung, dass die Markierung auf Deinem Punkt $B$ liegt. Dann rolle ihn in Richtung $A$ ab. Dabei berührt doch der Grundkreis stets den Kreisbogen $AB$ - oder nicht?

Also müssen doch der Kreisbogen von $A$ nach $B$ oder $B$ nach $A$ - das ist egal - und der Umfang des Grundkreises gleich lang sein. Ist das verständlich?

Der Umfang $U_G$ des Grundkreises mit Durchmesser $D$ ist $U_G = \pi \cdot D$ (s. Kreisumfang).

Kommentiert 6 Okt 2020 von Werner-Salomon

mathef · Answer 2 · 2020-10-05T07:01:27+0000

Ich würde mal erst den Kegelstumpf durch einen zusätzlichen aufgesetzten Kegel

der Höhe k und mit Durchmesser d zu einem ganzen Kegel ergänzen.

Dann gilt k/ (k+h) = d / D also

k=d*h/(D-d) ==> k=895 mm.

Der aufgesetzte Kegel hat als Durchmesser des Grundkreises ja d

und somit hat dieser den Umfang d*pi = 1018 mm.

Beim Abwickeln des Mantels entsteht ein Kreissektor mit der

Bogenlänge 1018 mm dem Radius s (Das ist eine Seitenlinie des

auf gesetzten Kegels. ) und dem Mittelpunktswinkel α.

s kannst du mittels Pythagoras berechnen

s² = (d/2)² + k² ==> s = 910 mm.

Damit ergibt sich für den Kreissektor nach der Formel b= 2*pi*r*α /360°

1018 mm = 2 * pi * 910 mm * α /360°

==> α = 61,1°

Damit kannst du diesen Teil ja schon mal zeichnen und musst jetzt nur

noch wissen wie weit du vom Kreismittelpunkt aus die Begrenzungslinien

des Sektors verlängern muss, damit du den angewickleten

Mantel des Kegelstumpfes erhältst.

Dazu brauchst brauchst du die Seitenlinie z des gesamten Kegels,

die bekommst du auch mit Pythagoras

z² = ( k+h)² + (D/2)² ==> z = 1426 mm.

Jetzt kannst du zeichnen. Das blaue Stück ist die gesuchte Abwicklung.

~draw~ kreissektor(-10|0 14.26 0 61.1);kreissektor(-10|0 9.1 0 61.1);zoom(20) ~draw~

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