Quadratische Gleichung mit Parameter

Question

Aufgabe:

x⁴ - 5a²x² + 6a⁴ = 0

Löse die Gleichung mit Fallunterscheidung unter Berücksichtigung alle Parameterwerte nach X auf.

Wie gehe ich vor? Mich stört die Variable a.

Comments

a ist halt der (einzige) Parameter, also eine feste aber beliebige Zahl.

Answer 1

Aloha :)

$$0=x^4-5a^2x^2+6a^4=(x^2-3a^2)(x^2-2a^2)$$$$\phantom{0}=(x-\sqrt3\,a)(x+\sqrt3\,a)(x-\sqrt2\,a)(x+\sqrt2\,a)$$Daraus können wir die Nullstellen ablesen:$$x=\pm\sqrt3\,a\quad;\quad x=\pm\sqrt2\,a$$

Comments

Vielen Dank! Ich muss hier echt blind gewesen sein,(Ist auch schon spät) dass ich gar nicht mehr erkennen konnte das man die Aufgabe faktorisieren kann.

Answer 2

Hallo Atorian,

x⁴ - 5a² x² + 6a⁴ = 0

setze z = x²

z² - 5a² z + 6a⁴ = 0  

pq-Formel: z² +pz + q = 0     mit p = - 5a² , q = 6a⁴

$z_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}$

.....

→  $z_1= 3a^2$  ;  $z_2 =2a^2$

rückgängig x² = z₁  oder x² = z₂

x_1,2 =  ± √3 · a     ,  x_3,4  =  ± √2 · a

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang

Danke für den alternativen Lösungsweg.

Hier musste ich aber den Taschenrechner zur Hand nehmen ;)

Zum Glück ist es eine Aufgabe bei der kein Rundungsfehler entstehen kann.

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Eigentlich solltest du ja auch mit Brüchen rechnen können. Dann braucht man keinen TR!

Das ist halt der allgemeine Lösungsweg für biquadratische Gleichungen x⁴ + px² + q = 0 .

Eine Faktorzerlegung kann man ja nicht immer finden.

Answer 3

Weg zu einer Lösung, falls du die Möglichkeit zur Faktorisierung nicht siehst: ohne Substitution x²=z

x⁴ - 5a² •x²    = -  6a⁴

(x²- 2,5a²)²   = - 6a⁴+(2,5a²)²

(x²- 2,5a²)²   =   0,25a⁴

1) x²- 2,5a²  =  0,5a²

 x²  =  3a²

x₁= a • $\sqrt{3}$

x₂=  -  a • $\sqrt{3}$

2) x²- 2,5a²  =  - 0,5a²

x²  =  2a²

x₃   =   a • $\sqrt{2}$

x₄  =  - a • $\sqrt{2}$

mfG

Moliets