Zeigen Sie: Rang(A B)=Rang(B)-dim(Kern L_A ∩ Bild L_B)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Rang(A B)=Rang(B)-dim(Kern L_A ∩ Bild L_B)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabenstellung. Ich wäre glücklich über jede Hilfe.

Answer 1

Es ist ja L_A*B = L_A o L_B . Also Rang(A*B) =  dim Bild (  L_A o L_B )

Durch die Abbildung L_A o L_B . werden ja die Elemente von ℝⁿ zunächst

mittels L_B nach ℝ^m und von dort mittels L_A nach ℝ^k mit geeigneten n,m,k

abgebildet.  Nach dem ersten Schritt landet man in Bild(L_B) und der

zweite Schritt geht also mit L_A von Bild(L_B) nach ℝ^k es wird also

L ' , die Einschränkung von L_A auf Bild(L_B) betrachtet.

Für diesen 2. Schritt besagt also der Dimensionssatz:

dim ( Bild(L') ) = dim Bild(L_B)  - dim Kern (L ' )

Nun ist aber ja  dim ( Bild(L') ) = dim Bild ( L_A o L_B ) = Rang ( A*B)

und dim Bild(L_B)  = Rang (B) und

Kern (L ' )  ist der Kern von der Einschränkung von L_A auf Bild(L_B) ,

also gleich Kern ( L_A ) ∩  Bild(L_B) .   q.e.d.