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Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die Punkte \( \mathrm{P}, Q, \mathrm{R} \) zur Ebene \( \mathrm{E} \) gehören. a) E: \( \left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right]=0, \quad \mathrm{P}(3|1| 5), \quad 0(1|4| 1), \quad \mathrm{R}(6|0| 0) \)
b) \( \begin{array}{lll}\mathrm{E}:-2 \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{x}_{2}-5 \mathrm{x}_{3}=10, & \mathrm{P}(5|0| 2), & 0(-1|-4|-4), \mathrm{R}(0|0| 2)\end{array} \)
c) E: \( \left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \cdot \vec{x}=0, \quad P(2|2| 1), \quad 0(2|4| 1), \quad R(0|1| 0) \)
d) Ebene durch \( A(-4|3| 2) \) mit \( \vec{n}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \quad P(-10|-5| 0), 0(1|7| 1), \quad R(0|5| 0) \)




Wie geht das? Bitte mit Erklärung

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a)

Wandel die Ebene zunächst in die Koordinatenform.

E: 2·x + 3·y - z = 12

2·3 + 3·1 - 5 = 4 → P liegt nicht auf E

2·1 + 3·4 - 1 = 13 → Q liegt nicht auf E

2·6 + 3·0 - 0 = 12 → R liegt auf E

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E: 2·x + 3·y - z = 12

Wie kommt man da auf die 12?

Was entsteht beim Ausmultiplizieren aus [2, 3, -1] * [3, 2, 0] ?

Achso ja.. aber ab da weiß ich nicht, wie Sie drauf gekommen sind:

2·1 + 3·4 - 1 = 13 → Q liegt nicht auf E

2·6 + 3·0 - 0 = 12 → R liegt auf E

Wenn die Gleichung 2·x + 3·y - z = 12 erfült ist liegt der Punkt mit den Koordinaten x, y und z in der Ebene.

Wenn also links 12 heraus kommt liegt der Punkt in der Ebene. Kommt nicht 12 heraus dann liegt der Punkt halt nicht in der Ebene.

2·3 + 3·1 - 5 = 4 → P liegt nicht auf E

Könnten Sie die bitte ausführlich rechnen? Ich brauche halt immer ein konkretes, ausführliches bsp, damit ich das verstehe

E: 2·x + 3·y - z = 12

Das ist die Koordinatenfom der Ebene.

P hat die Koordinaten P (3|1|5)

Du setzt also für x die 3, für y die 1 und für z die 5 in diese Gleichung ein.

2·3 + 3·1 - 5 = 12

4 = 12, unwahr, also liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Wäre das Ergebnis 12 = 12 gewesen, dann würde er auf der Ebene liegen.

Also hat man bei b) ja schon die koordinatenform, oder?

Ja, so ist es.

E: 2·x + 3·y - z = 12

Aber wie kommt man überhaupt darauf? Ist das einf (2,3,-1) mit x in der klammer aus multipliziert? Und braucht man die (3,2,0) nicht?

Hmmm. Einfach ausmultiplizieren

blob.png

\(E: \left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right]=0\)

ist die Normalenform der Ebene.

Wenn du die Klammern ausmultiplizierst, erhältst du

\(\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot x-\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=0\\ \left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot x-(2\cdot3+3\cdot2+(-1)\cdot0)=0\\ 2x+3y-z-12=0\\ 2x+3y-z=12\)

Achso. Aber was ist bei c) gemeint? Die ist ja jetzt anders als a & b.

Setze für \( \vec{x} \) die Koordinaten der Punkte ein und schau, ob das Ergebnis = 0 ist.

Wie? Was muss ich mit dem n machen usw?

zu c) Punkt P

\(E: \left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \cdot \vec{x}=0, \quad P(2|2| 1), \quad 0(2|4| 1), \quad R(0|1| 0) \\\)

\(1\cdot 2+0\cdot 2+(-2)\cdot 1=0\)

Also liegt der Punkt in der Ebene.

zu d)

Du hast einen Punkt und den Normalenvektor der Ebene. Zur Umwandlung in die Koordinatenform kannst du so vorgehen:

\(\text{Ebene durch}\quad A(-4|3| 2)  \text{ mit}\quad \vec{n}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\\ E:\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} x+4\\y-3\\z-2 \end{pmatrix}=0\\x+4-y+3+z-2=0\\ x-y+z+5=0\\x-y+z=-5 \)

D)

Dort bei den 1. 2 liegt das auf e, oder?, weil da 0 raus kommt. Aber eigentlich muss man doch auch die Punkte da irgendwo noch reinsetzen, oder nicht?

Aber eigentlich muss man doch auch die Punkte da irgendwo noch reinsetzen, oder nicht?

Allerdings! Denn wozu hätte ich sonst die Koordinatengleichung ermittelt?

\(x-y+z=-5\\-10-(-5)+0=-5\\ -10+5=-5\\-5=-5\)

Oder wie bist du darauf gekommen, dass P in der Ebene liegt? O und R liegen ebenfalls darin.

Habe jetzt heraus, dass bei c alle Punkte auf e liegen, stimmt das?

Ja, das ist richtig.

Und was wäre von c) die koordinatenform? Oder sind das diese 3 verschiedene?

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \vec x = 0 \\ x + 0 \cdot y + 2 \cdot z = 0 \\ x + 2 \cdot z = 0$$

Ouh sorry, ich meine bei d). Sind das diese 3? Mit = 2x 0 & = -5?

$$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\3\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ x - y + z = -5$$

Sind die beide die koordinatenformen?

Die Koordinatenform einer Ebene sieht so aus:

\(ax_1+bx_2+cx_3=d\quad \text{oder}\quad ax+by+bz=d\)

Du solltest sie schon erkennen, wenn sie dich anspringt ;-)

\vec x \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\3\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ x - y + z = -5x⋅⎝⎛1−11⎠⎞=⎝⎛−432⎠⎞⋅⎝⎛1−11⎠⎞x−y+z=−5

Was ist hiervon denn genau die koordinatenform?

Ist diese Frage wirklich ernst gemeint?

Schon bin gerade bisschen verwirrt

Siehst du eine gewisse Ähnlichkeit zwischen

\(ax+by-cz=d \)

und

\(x−y+z=−5\)

?

Ja das wurde mit Zahlen eingesetzt. Also ist das untere die koordinatenform? Was ist denn das da drüber? Mit x *(1,-1,1)?

Ja, das ist die Koordinatenform.

blob.png


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