Welche ist die größte positive Dezimalzahl die sich mit 12-Bit darstellen lässt?

Question

Aufgabe:

Mit 12 Binärstellen lassen sich 2¹² Binärfolgen erstellen und somit
z.B. 2¹² ganze Zahlen darstellen. Welche ist die größte positive Dezimalzahl z_max, die sich
darstellen lässt, wenn man sich darauf verständigt, 12-Bit-Zweierkomplementdarstellung zu
verwenden?

Problem/Ansatz:

Ich bin gerade etwas verloren da ich nicht genau verstehe wie ich hier die größtmögliche Zahl in den Bits ermitteln soll.

Außerdem hätte ich noch eine weitere frage zu dem Thema und zwar wie ich herausfinden kann wie viele Binärstellen man mindestens benötigt wenn man z.B. 2048 Zahlen darstellen möchte?

Klar könnte ich mir jetzt einfach eine Tabelle mit x-vielen Hochzahlen aufschreiben aber gibt es dafür keine Rechnung?

Eine genaue Erklärung oder ein gut nachvollziehbarer Lösungsweg würden mir sehr weiterhelfen!

Liebe Grüße.

Answer 1

Eine Binärzahl $b=b_{n}...b_0$ mit $n+1$ Bits wird im Zweierkomplement (ohne Nachkommastellen) durch

$[b]_{2K} = -b_n\cdot 2^n + \sum\limits_{i=0}^{n-1} b_i\cdot 2^i$ interpretiert.

Die Binärzahl ohne Nachkommastellen, die im Zweierkomplement mit $12$ Bits den größten Wert bei Interpretation besitzt, ist bei Betrachtung obiger Formel offenbar $011111111111$.

Die Interpretation liefert dann $[011111111111]_{2K} = \sum\limits_{i=0}^{11-1} 2^i = 2^{11}-1=z_{max}$.

Um $k$ Zahlen darstellen zu können, wirst du die Eigenschaft nutzen müssen, dass du mit $n$ Bits $2^n$ verschiedene Zahlen darstellen kannst. Mit $k=2^n$ folgen dann $n=\lceil \log_2(k) \rceil$ benötigte Bits.

Answer 2

a) Es ist eine geometrische Reihe: a0=2⁰=1 , q=2, n=12

2¹¹+2¹⁰+2⁹+...+2⁰

Mit der Summenformel ergibt sich: 2⁰*(2¹²-1)/(2-1) = 4095

b) gesuchte Zahl= x

2⁰*(2ⁿ-1)/(2-1) =x

2^(n-1) =x

2ⁿ/2 =x

2ⁿ =2x

n= ln(2x)/ln2

x= 2048 -> n= 12

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe