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Aufgabe

:Ein Oktaeder ist aus zwei gleich großen Pyramiden mit quadratischer Grund- fläche zusammengesetzt. Diese Doppelpyramide wird von acht gleichseitigen kongruenten Seitenflächen begrenzt. Die Kantenlänge eines Oktaeders beträgt 12cm(20cm). Berechne Volumen und Oberflächeninhalt.


Problem/Ansatz:



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Volumen:

Die Diagonale im Quadrat ABCD hat die Länge a√2. Für a=12 also 12·√2. Dann ist die Länge der halben Diagonale 6·√2 und es gilt (6·√2)2+h2=122 oder h=6·√2.

Dann ist das Volumen des Oktaeders: 2· 13 \frac{1}{3} ·144·6·√2.·

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Versuche die Grundlegenden allgemeinen Rechnungen bei Wikipedia zu verstehen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder

Dann brauchst du am Ende nur noch für a die gewünschten Werte einsetzen.

a = 12 cm
V = √2/3·(12 cm)3 = 814.6 cm³
O = 2·√3·(12 cm)2 = 498.8 cm²

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Wenn man mal die Formelsammlung verlegt hat oder das Internet nicht funktioniert:

Mit Pythagoras findet man heraus, dass die Höhe der Pyramide a22 \sqrt{\frac{a^2}{2}} beträgt.

Das Volumen einer Pyramide ist dann

V=0a22(aaha22)2dhV= \int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{a^2}{2}}} (a-a \cdot \frac{h}{\sqrt{\frac{a^2}{2}}})^2 \, dh

und das Volumen des Oktaeders das Doppelte davon.


Der Oberflächeninhalt ist 8 mal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks.

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