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Aufgabe:


\( \left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|<0,001 \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<0,001 \Rightarrow \lg \left(\frac{1}{2}\right)^{n}>\lg 0,001 \Rightarrow \)
\( n>\frac{\lg 0,001}{\lg 2}=9,96 \Rightarrow n_{0}=9 \)


Problem/Ansatz:

Wieso wechselt das Vergleichszeichen die Richtung? Und wieso kann man lg0,001/lg2 rechnen? woher das lg2?

Leider muss ich das Bild der Aufgabe als Link teilen, da mein Rechner kein Drag&Drop in diese Textbox erlaubt ;/

Vielen Dank :)

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Versuch mal Bild kopieren und dann einfügen.

Daher wird das Zeichen beim logarithmieren umgedreht.

Das ist Unfug.

Hier etwas konkreter (was hj2166 auf die ihm typische Weise zum Ausdruck bringt):

0,01<0,1

lg 0,01< lg 0,1

- 2 < - 1

Mit Umkehren des Zeichens beim Logarithmieren :

0,5^n < 0,001   ⇒   n > log0,5 0,001 = lg 0,001 / lg 0,5

Danke für die Hinweise. Ich habe meine viel zu schnell hingetippte falsche Antwort gelöscht.

:-)

2 Antworten

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Hallo,

\(\left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|<0,001 \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<0,001 \Rightarrow \lg \left(\frac{1}{2}\right)^{n}>\lg 0,001 \Rightarrow \)

das ist falsch, Hier darf das Vergleichzeichen (noch) nicht gedreht werden. Der Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion*). Er darf also in Ungleichungen verwendet werden und das Vergleichzeichen bleibt bestehen. Besser ist$$\begin{aligned} \left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|&<0,001 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<0,001\\ \lg\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<\lg 0,001 &&\,&\text{(3)}\\ n \cdot \lg\left(2^{-1}\right)&<\lg 0,001\\ n \cdot \left(-\lg\left(2\right)\right)&<\lg 0,001 &&|\,\div \left(-\lg\left(2\right)\right) &\text{(5)}\\ n &\gt \frac{\lg 0,001}{-\lg\left(2\right)} \approx +9,97 \end{aligned}$$(3) hier bleibt das \(<\) noch so wie es war!

(5) \(-\lg(2)\) ist ein negativer Wert. Bei der Division durch einen negativen Wert muss das Vergleichzeichen gedreht werden. Der Wert \(\lg0,001\) ist auch negativ, d.h. rechts steht ein positiver Ausdruck.

*) ich setze natürlich voraus, dass die verwendete Basis \(\gt 1\) ist! (s. Bem. von hj2166)

Avatar von 48 k

Da lg für den Zehner-Logarithmus steht, ist die Basis größer als 1.

:-)

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\((1/2)^n\lt0,001\iff 2^{-n}\lt 0,001\Rightarrow -n\lg(2)<\lg(0,001)=-3\Rightarrow\)

\(n\lg(2)>3\Rightarrow n\gt \frac{3}{\lg(2)}\approx \frac{3}{0,3010} ...\)

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