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Aufgabe:


\( \left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|<0,001 \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<0,001 \Rightarrow \lg \left(\frac{1}{2}\right)^{n}>\lg 0,001 \Rightarrow \)
\( n>\frac{\lg 0,001}{\lg 2}=9,96 \Rightarrow n_{0}=9 \)


Problem/Ansatz:

Wieso wechselt das Vergleichszeichen die Richtung? Und wieso kann man lg0,001/lg2 rechnen? woher das lg2?

Leider muss ich das Bild der Aufgabe als Link teilen, da mein Rechner kein Drag&Drop in diese Textbox erlaubt ;/

Vielen Dank :)

von

Versuch mal Bild kopieren und dann einfügen.

Daher wird das Zeichen beim logarithmieren umgedreht.

Das ist Unfug.

Hier etwas konkreter (was hj2166 auf die ihm typische Weise zum Ausdruck bringt):

0,01<0,1

lg 0,01< lg 0,1

- 2 < - 1

Mit Umkehren des Zeichens beim Logarithmieren :

0,5^n < 0,001   ⇒   n > log0,5 0,001 = lg 0,001 / lg 0,5

Danke für die Hinweise. Ich habe meine viel zu schnell hingetippte falsche Antwort gelöscht.

:-)

2 Antworten

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Hallo,

\(\left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|<0,001 \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<0,001 \Rightarrow \lg \left(\frac{1}{2}\right)^{n}>\lg 0,001 \Rightarrow \)

das ist falsch, Hier darf das Vergleichzeichen (noch) nicht gedreht werden. Der Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion*). Er darf also in Ungleichungen verwendet werden und das Vergleichzeichen bleibt bestehen. Besser ist$$\begin{aligned} \left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|&<0,001 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<0,001\\ \lg\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<\lg 0,001 &&\,&\text{(3)}\\ n \cdot \lg\left(2^{-1}\right)&<\lg 0,001\\ n \cdot \left(-\lg\left(2\right)\right)&<\lg 0,001 &&|\,\div \left(-\lg\left(2\right)\right) &\text{(5)}\\ n &\gt \frac{\lg 0,001}{-\lg\left(2\right)} \approx +9,97 \end{aligned}$$(3) hier bleibt das \(<\) noch so wie es war!

(5) \(-\lg(2)\) ist ein negativer Wert. Bei der Division durch einen negativen Wert muss das Vergleichzeichen gedreht werden. Der Wert \(\lg0,001\) ist auch negativ, d.h. rechts steht ein positiver Ausdruck.

*) ich setze natürlich voraus, dass die verwendete Basis \(\gt 1\) ist! (s. Bem. von hj2166)

von 37 k

Da lg für den Zehner-Logarithmus steht, ist die Basis größer als 1.

:-)

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\((1/2)^n\lt0,001\iff 2^{-n}\lt 0,001\Rightarrow -n\lg(2)<\lg(0,001)=-3\Rightarrow\)

\(n\lg(2)>3\Rightarrow n\gt \frac{3}{\lg(2)}\approx \frac{3}{0,3010} ...\)

von 3,9 k

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