Wie wird die Quotientenregel mit e^x angewendet?

Question

Aufgabe:

c) \( f(x)=e^{-x} \cdot \ln (x) \)

Problem/Ansatz:

Wie wird das abgeleitet?

Welche Rechenschritte sind notwendig? Ich weiß, dass man die Quotientenregel anwenden muss, jedoch nicht genau wie man sie hier anwenden kann.

Mein Ansatz: e^-x -> 1/e^x und ln(x) in den Zähler setzen. Danach komme ich nicht weiter.

Answer 1

Setze ln x = u und e^x=v. Bilde damit den Term \( \frac{u'v-uv'}{v^2} \)

Answer 2

f(x) = e^(-x)·LN(x) = LN(x) / e^x

f'(x) = (1/x·e^x - LN(x)·e^x) / e^(2·x) = (1/x - LN(x)) / e^(x) = (1 - x·LN(x)) / (x·e^(x))

Comments

Lösungsinkontinenz?

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ja. fülltext.

Answer 3

Hallo,

ich sehe keinen Quotienten, also würde ich es mit der Produktregel versuchen ;-)

\( \begin{aligned} f(x) &=e^{-x} \cdot \ln (x) \\[15pt] u &=e^{-x} \quad v=\ln (x) \\ u^{\prime} &=-e^{-x} \quad v^{\prime}=\frac{1}{x} \end{aligned} \)

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

ln(x)/e^x

:-)

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Also auf meinem Bildschirm sehe ich das:

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Aaaah, ok, ich sehe es jetzt.

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e^{-x} ist doch gleich 1/e^x

:-)

Answer 4

f '(x) = -e^-x*lnx +e^-x*1/x = e^-x*(-lnx-1/x)

Answer 5

Aloha :)

$$f(x)=e^{-x}\cdot\ln(x)=\frac{\overbrace{\ln(x)}^{=u}}{\underbrace{e^x}_{=v}}$$$$f'(x)=\frac{\overbrace{\frac1x}^{=u'}\cdot\overbrace{e^x}^{=v}-\overbrace{\ln(x)}^{=u}\cdot\overbrace{e^x}^{=v'}}{\underbrace{(e^x)^2}_{=v^2}}=\frac{\left(\frac1x-\ln(x)\right)\cdot e^x}{e^x\cdot e^x}=\frac{\frac1x-\ln(x)}{e^x}=\frac{1-x\ln(x)}{xe^x}$$