Austauschlemma und Austauschsatz

Question

Aufgabe:

Austauschlena und Austauschsatz

Problem/Ansatz:

Ich studiere an der Fernuni Mathematik und Versuche über Wikibook sowie YouTube Videos zunächst das Austauschlemma zu verstehen. Es wird hierbei eine Summenfunktion mehrmals äquivalent umgeformt.Es wird ein aiui "rausgezogen" und dann mit dem Inversen multipliziert. Vielleicht bist hier jemand, der mir das etwas detaillierter erklären bzw. beschreiben kann.

Comments

Gib doch mal die Quelle an, sonst kann man da wohl nicht viel zu sagen.

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Eine Quelle ist Wikibooks und zwar Austauschlemma und Austauschsatz.

Beim Beweisschritt : B´ ist ein Erzeugendensystem kommt nach einer einführenden Beschreibung

eine Summenfunktion, wenn ich das so richtig verstehe, wo rechts ω=die Summe λibi für i=1 bis n

steht =summe λibi +λkbk für i=1,i ungl.k bis n steht. Hier komme ich unter anderem mit dem was nach+ steht nicht klar und dann verstehe ich die beiden´äquivalenten Umformungen nicht.

Ich hoffe, dass das für eine weitere Erklärung hift

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Etwas habe ich noch vergessen. Ich habe mir ein Youtube Video von der Uni Dortmund angesehen und war schon einigermassen erfreut, dass ich es langsam verstehe. Hier wurde dann ein LGS gelöst in dem ein Gaußverfahren angewandt wurde, das im Ergebniss als Zeilenstufenform bezeichnet wurde, also oberhalb der Diagonale waren keine Nullen. An der Fernuni kenne ich in diesem Zusammenhang nur die TNF mit den Rängen. Deshalb war ich dann erstmal skeptisch.

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So gibt man eine Quelle an:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Austausch…

Du kommst also nicht mit dem Summationszeichen klar oder?

Im Beweis zum Austauschlemma (vermute ich jetzt mal) steht

$$w = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i$$

Das wird "umgeformt" zu

$$w = \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i + \lambda_k b_k = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k$$

1. Der Summand hinter dem Summenzeichen gehört nicht mehr zum Summenzeichen, deshalb habe ich die Klammern ergänzt um das optisch besser abzutrennen.

2. Was bedeutet $\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i$?

Du bildest eine Summe aus den Summanden $\lambda_i b_i$ mit $i = 1,...,n$, also:

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = \lambda_1 b_1 + \dotsm + \lambda_{k-1} b_{k-1} + \lambda_{k} b_{k} + \lambda_{k+1} b_{k+1} + \dotsm + \lambda_{n} b_{n}$$

3. Was bedeutet $\displaystyle \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i$?

Du bildest eine Summe aus den Summanden $\lambda_i b_i$ mit $i = 1,...,k-1,k+1,...,n$. den Summanden für $i=k$ lässt du also weg! Da kommt dann das raus:

$$\sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i = \lambda_1 b_1 + \dotsm + \lambda_{k-1} b_{k-1} + \lambda_{k+1} b_{k+1} + \dotsm + \lambda_{n} b_{n}$$

Jetzt fehlt aber im Vergleich zu obiger Summe der Summand $\lambda_k b_k$, deshalb schreibt man den anschließend einfach separat hinter die Summe - man kann ihn ja immerhin nicht einfach weglassen:

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = w = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k$$

Jetzt nennen wir mal $\displaystyle X = \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i$. Dann sieht das so aus:

$$w = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k \\ \iff w - X = X - X + \lambda_k b_k = \lambda_k b_k$$

Du ziehst auf beiden Seiten einfach das X (also die Summe) ab. Da $\lambda_k \neq 0$ kannst du es im Körper invertieren, multipliziere also mit $\lambda_k^{-1}$ bzw. mit $\frac{1}{\lambda_k}$

$$\iff \frac{1}{\lambda_k}(w - X) = \frac{1}{\lambda_k} \lambda_k b_k = b_k$$

Distributibgesetz:

$$\iff \frac{1}{\lambda_k}w - \frac{1}{\lambda_k}X = b_k$$

Jetzt setze ich mal wieder die Summe ein:

$$\iff \frac{1}{\lambda_k}w - \frac{1}{\lambda_k} \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) = b_k$$

nochmal Distributivgesetz:

$$\iff \frac{1}{\lambda_k}w - \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \frac{\lambda_i}{\lambda_k}b_i \right) = b_k$$

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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Ich hoffe jetzt, daß ich damit klarkommen kann. Es sieht jedenfalls danach aus. Ich habe dann noch in einem zweiten Kommentar etwas dazugefügt. Wenn Du da etwas dazu sagen könntest, wäre das auch ganz gut.