Aufgabe:
Ich habe bei der Klausurvorbereitung in einer Altklausur folgende Aufgabe gefunden:
Berechne die Nullstellen für folgende Funktion:
f(x) = ax2 − 2xa2 + a3 + a
Problem/Ansatz:
Ich habe schon mehrere Methoden probiert, leider komme ich auf keine Lösung.
Die Aufgabe soll ohne Taschenrechner gelöst werden.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen:)
Hallo,
ax2−2a2x+a3+a=0∣ : ax2−2ax+a2+1=0ax^2-2a^2x+a^3+a=0\quad|:a\\ x^2-2ax+a^2+1=0\\ax2−2a2x+a3+a=0∣ : ax2−2ax+a2+1=0
pq-Formel
x1,2=a±a2−(a2+1)x1,2=a±−1\\x_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-(a^2+1)}\\ \\x_{1,2}=a\pm\sqrt{-1}\\x1,2=a±a2−(a2+1)x1,2=a±−1
Die Funktion hat also keine Nullstellen.
Gruß, Silvia
ax2 − 2xa2 + a3 + a = 0
a * ( x2 − 2xa + a2 + 1 ) = 0
x2 − 2xa + a2 + 1 = 0 |
( x - a )2 + 1 = 0
( x- a )2 ist stets > 0 1 > 0Der Term ( x - a )2 + 1 ist stets > 0also nie gleich null
ax2 − 2xa2 + a3 + a=a(x2 − 2xa + a2 + 1)
x2 − 2xa + a2 + 1=0 hat keine reellen Lösungen (mit pq-Formel).
Daher gibt es keine reellen Nullstellen.
Verwende die Mitternachtsformel.
x=2a2±4a4−4a(a3+a)2a(a≠0)\LARGE x=\frac{2 a^{2} \pm \sqrt{4 a^{4}-4 a\left(a^{3}+a\right)}}{2 a} \quad \large (a \neq 0)x=2a2a2±4a4−4a(a3+a)(a=0)
Da unter der Wurzel -4a2 steht, was nicht positiv sein kann, gibt es keine Nullstelle.
Interessant ist diese Aufgabe nur für a≠0a\neq 0a=0.
Dann gilt f(x)=a(x2−2ax+a2+1)=0 ⟺ x2−2ax+(a2+1)=0f(x)=a(x^2-2ax +a^2+1)=0\iff x^2-2ax+(a^2+1)=0f(x)=a(x2−2ax+a2+1)=0⟺x2−2ax+(a2+1)=0.
Die pq-Formel liefert x1,2=a±a2−(a2+1)=a±ix_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-(a^2+1)}=a\pm ix1,2=a±a2−(a2+1)=a±i.
Es gibt also keine reellen Lösungen, wohl aber zwei zueinander
konjugierte komplexe Nullstellen.
Durch a dividieren:
x2-2ax+a2+1=0
pq-Formel:
p= -2a, q= a2+1
a+-√(a2-a2-1) = a+-√-1
-> keine reelle Lösung
ax2 − 2xa2 + a3 + a=0 |:a mit a≠0
x2 − 2xa + a2 + 1=0 |-a2-1
x2 − 2xa =-a2-1
(x-a)2=-a2-1+a2
(x-a)2=-1
Es gibt keine Nullstelle:
2.Weg:
f´(x)=2ax-2a2
2ax-2a2=0
ax=a2
x=a f(a) =a S(a|a)
f(x)=a*(x-a)2+a Scheitelform der Parabel
a*(x-a)2+a=0
a*(x-a)2=-a|:a
f(x) = a·x2 - 2·a2·x + a3 + a
a ausklammern
f(x) = a·(x2 - 2·a·x + a2 + 1)
Binomische Formel erkennen und Umwandeln
f(x) = a·((x - a)2 + 1)
Satz vom Nullprodukt
a = 0 oder (x - a)2 + 1 = 0
Ein Quadrat ist immer größer gleich Null. Ein Quadrat plus 1 ist daher immer größer oder gleich 1 und nie Null. Es gibt für a ≠ 0 also keine Nullstelle.
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