Maximum und Minimum berechnen. Schnittpunkte

Question

Aufgabe:

Die nachfolgende Funktion hat ein Maximum und ein Minimum. Berechnen Sie diese zwei Punkte. Weisen Sie nach, welcher Punkt das Maximum ist und welcher das Minimum.

f(x)= x³-1/4x²-25/8x-3/4

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x = 2. Berechnen Sie weitere Schnittpunkte mit der x-Achse.

Ermitteln Sie den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Answer 1

hallo

1. Ableitung bilden

2. Ableitung 0 setzen mit pq die 2 Nullstellen der Ableitung bilden. Für die Nullstelen f(x) durch (x-2) teilen (Po,ynomfunktion, dann die verbleibende quadratisch Gleichung wieder mit pq lösen

Schnittpunkt mit y Achse 0 in f(x) einsetzen

Gruß lul

Comments

Vielen Dank

Dankeschön

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Was ist aber mit Maximum und Minimum?

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Wie umnachtet muss man sein, um eine Antwort als beste Antwort zu deklarieren und dann nachträglich verstehen zu geben, dass man mit der Antwort eigentlich nichts anfangen kann?

Answer 2

Aloha :)

Wir untersuchen die Funktion:$$f(x)=x^3-\frac14x^2-\frac{25}{8}x-\frac34$$Kandidaten für Extremwerte sind dort zu finden, wo die erste Ableitung verschwindet:

$$f'(x)=3x^2-\frac12x-\frac{25}{8}\stackrel!=0\implies x^2-\frac16x-\frac{25}{24}=0$$Mit der pq-Formel erhalten wir zwei Kandidaten:$$x_{1;2}=\frac{1}{12}\pm\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{25}{24}}=\frac{1}{12}\pm\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{150}{144}}=\frac{1\pm\sqrt{151}}{12}$$

Wir prüfen die beiden Kandidaten mit Hilfe der zweiten Ableitung:$$f''(x)=6x-\frac12$$$$f''\left(\frac{1-\sqrt{151}}{12}\right)=-\frac{\sqrt{151}}{2}<0\implies\quad\text{Maximum bei }x_1=\frac{1-\sqrt{151}}{12}$$$$f''\left(\frac{1-\sqrt{151}}{12}\right)=+\frac{\sqrt{151}}{2}>0\implies\quad\text{Minimum bei }x_2=\frac{1+\sqrt{151}}{12}$$

Da uns der Aufgensteller die Nullstelle bei $x=2$ verraten hat, wissen wir, dass wir den Funktionsterm von $f(x)$ durch $(x-2)$ dividieren können:$$f(x)=x^3-\frac14x^2-\frac{25}{8}x-\frac34=x^3\,\overbrace{-2x^2+\frac74x^2}^{=-\frac14x^2}\,\overbrace{-\frac{28}{8}x+\frac{3}{8}x}^{=-\frac{25}{8}x}\,-\frac34$$$$\phantom{f(x)}=\left(x^3-2x^2\right)+\left(\frac74x^2-\frac{14}{4}x\right)+\left(\frac38x-\frac68\right)$$$$\phantom{f(x)}=x^2(x-2)+\frac74x(x-2)+\frac38(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=\left(x^2+\frac74x+\frac38\right)(x-2)=\frac18(8x^2+14x+3)(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=\frac18(4x\cdot2x+2x+12x+3)(x-2)=\frac18(4x+1)(2x+3)(x-2)$$

Es gibt also insgesamt drei Schnittpunkte mit der $x$-Achse:$$N_1\left(-\frac14\bigg|0\right)\quad;\quad N_2\left(-\frac32\bigg|0\right)\quad;\quad N_3(2|0)$$

Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse folgt durch Einsetzen von $x=0$ in $f(x)$:$$f(0)=-\frac34\quad\implies\quad Y\left(0\bigg|-\frac34\right)$$

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f₁(x) = x³-x²/4-25x/8-3/4P(-0,94|1,136)P(1,107|-3,159)P(0|-3/4)P(-1/4|0)P(-3/2|0)P(2|0)Zoom: x(-2…3) y(-4…2)