Es sei V der Vektorraum der reellen n x n-Matrizen

Question

Text erkannt:

Es sei \( V \) der Vektorraum der rellen \( n \times n \)-Matrizen.
a) Zeigen Sie, dass durch
\( \langle A, B\rangle:=\operatorname{Spur}\left(A^{\top} B\right), \quad A, B \in V \)
ein Skalarprodukt auf \( V \) definiert wird.
b) Zeigen Sie, dass \( \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \beta(A, B):=\operatorname{Spur}(A \cdot B) \) für \( n \geq 2 \) kein Skalarprodukt ist.
c) Es sei \( \|\cdot\| \) die durch \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) induzierte Norm auf \( V \) und \( \|\cdot\|_{2} \) die Standardnorm auf \( \mathbb{R}^{n} \). Zeigen Sie: Für alle \( A \in V, v \in \mathbb{R}^{n} \) gilt
\( \|A v\|_{2} \leq\|A\| \cdot\|v\|_{2} . \)

Hänge nun schon seit einiger Zeit an dieser Aufgabe.

Answer 1

a)  Du musst die 3 Eigenschaften ( Linearität in beiden Argumenten,

Symmetrie und pos. Definitheit) zeigen.

Zum 1. im 1. Arg. also  < aX+bY,Z> = a<X,Z> +b<Y,Z>.

Also los   < aX+bY,Z> = Spur( (aX+bY)^T * Z )

Jetzt die Regeln über das Transponieren etc. und die Spur

(s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Spur_(Mathematik)#Eigenschaften )

verwenden:

=Spur( (aX^T+bY^T) * Z )

=Spur( (aX^T*Z+bY^T * Z )

= a*Spur( X^T*Z)  +b*Spur(Y^T * Z )

= a<X,Z> +b<Y,Z>.

Entsprechend für das 2. Argument und Symmetrie etwa so

Beh.: Für alle.....     < A,B> = <B,A>

Gilt weil < A,B> =Spur(A^T*B)

und Transponieren ändert die Spur nicht

       =Spur((B*A^T)^T)

        =Spur(A^T^T*B^T)

        =Spur(A*B^T)

und vertauschen der Faktoren ändert die Spur auch nicht

       = Spur(B^T*A)  =  <B,A>  q.e.d.

Und hier siehst du auch schon, warum man das Transponieren braucht

( Teil b) .

Und für a noch das letzte.

Bei A^T*A stehen in der Hauptdiagonalen alles nur

Summen von Quadraten, die Spur ist dann die Summe aller

Quadrate der Elemente von A, also nie negativ und nur

0, wenn alle 0 sind.