Untersuchen Sie, ob durch ||x|| = \sqrt{x_12-x_1x_2+x_22} mit x = (x1,x2)T ∈ ℝ2 eine Norm auf ℝ2 definiert wird.

Question

Untersuchen Sie, ob durch ||x|| = $\sqrt{x_1^2-x_1x_2+x_2^2}$ mit x = (x₁,x₂)^T ∈ ℝ² eine Norm auf ℝ² definiert wird.

Hinweis: Betrachten Sie x = Ay für die Matrix

A = $\begin{pmatrix} 1 & \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

Answer 1

Um zu zeigen, dass es sich um eine Norm handelt, zeige ich

darüber hinaus, dass es sich um eine Norm handelt, die von einem

Skalarprodukt herkommt.

Das Skalarprodukt wäre$$\langle x,y\rangle=x_1y_1-1/2x_1y_2-1/2x_2y_1+x_2y_2$$mit Gram-Matrix$$G=\left(\begin{array}{cc}1&-1/2\\-1/2&1\end{array}\right)$$Durch $H=A^TGA$ bekommen wir die Gram-Matrix der symm. Bilinearform

nach dem durch $A$ bewirkten Basiswechsel. Es ergibt sich

$H=E_2$. Da diese die Signatur (2,0,0) hat, also positiv definit ist,

ist nach Sylvester auch $(v,w)\mapsto v^TGw$ pos. definit und somit

ein Skalarprodukt.