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Aufgabe:

Definition 1. Ein Dedekind-Schnitt von Q \mathbb{Q} ist eine Teilmenge AQ A \subset \mathbb{Q} , so dass
- A,AQ A \neq \emptyset, A \neq \mathbb{Q} ,
- A A ist nach unten abschlossen: xAyxyA x \in A \wedge y \leq x \Rightarrow y \in A
- A hat kein Maximum: Für jedes xA x \in A existiert ein yA y \in A mit y>x y>x .



Für zwei Elemente A,BD A, B \in \mathcal{D} mit A,B0D A, B \geq 0_{\mathcal{D}} definieren wir eine Multiplikation wie folgt:
AB : ={abaA\0D,bB\0D}0D A \cdot B:=\left\{a \cdot b \mid a \in A \backslash 0_{\mathcal{D}}, b \in B \backslash 0_{\mathcal{D}}\right\} \cup 0_{\mathcal{D}}
Das definiert eine Multiplikation für beliebige A,BD A, B \in \mathcal{D} wie folgt: wir setzen
AB=((A)B), wenn A<0D,AB=(A(B)), wenn B<0D A \cdot B=-((-A) \cdot B), \text { wenn } A<0_{\mathcal{D}}, \quad A \cdot B=-(A \cdot(-B)) \text {, wenn } B<0_{\mathcal{D}}
a) Zeigen Sie, dass \cdot kommutativ ist.
b) Zeigen Sie, dass 1D : ={xQx<1} 1_{\mathcal{D}}:=\{x \in \mathbb{Q} \mid x<1\} das neutrale Element der Multiplikation ist, und bestimmen sie das multiplikativ Inverse zu A>0D A>0_{\mathcal{D}} .
c) Zeigen Sie für Elemente A,B,C0D A, B, C \geq 0_{\mathcal{D}} , dass
(AB)C=A(BC),(A+B)C=AC+BC. (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C), \quad(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C .


Problem/Ansatz:

Habe leider kein Plan wie ich es mache, kann wer bitte helfen

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1 Antwort

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Hahaha mach grade dieselbe Aufgabe - TU Berlin?

Avatar von

ja haha habt ihr es irgendwie lósen kónnen?

Also für (b) hab ich glaub ich ne antwort, weil es ähnlich zum tutorium war.

hab gezeigt, dass A eine teilmenge von A * 1_D ist und das A * 1_D eine teilmenge von A ist um zu zeigen, dass A = A * 1_D ist.


Also das ist mein text auf LaTeX:

Wir gehen davon aus, dass 1D das neutrale Element der Multiplikation ist. Wenn das der Fall wäre, muss A · 1D eine Teilmenge von A sein. Das gilt auch andersrum (A soll eine Teilmenge von A · 1D sein).
Jetzt beweisen wir:
1.A1DA 1. A \cdot 1_{\mathcal{D}} \subseteq A\\
2.  AA1D 2. \; A \subseteq A \cdot 1_{\mathcal{D}}

\\
Sei x ∈ A · 1D. Wir wissen, es gibt a ∈ A, y ∈ 1D, sodass x = a · y. y ∈ 1D ⇔ y < 1. Damit folgt x = a · y < a ∈ A. Aus der Definition 1.2 weiß man, dass A nach unten abgeschlossen ist: x ∈ A und y ≤ x ⇒ y ∈ A. Deswegen folgt x ∈ A. Da x bel., folgt dann A · 1D ⊆ A.

hast du ne idee für die anderen fragen?

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