Aufgabe:
Definition 1. Ein Dedekind-Schnitt von Q ist eine Teilmenge A⊂Q, so dass
- A=∅,A=Q,
- A ist nach unten abschlossen: x∈A∧y≤x⇒y∈A
- A hat kein Maximum: Für jedes x∈A existiert ein y∈A mit y>x.
Für zwei Elemente A,B∈D mit A,B≥0D definieren wir eine Multiplikation wie folgt:
A⋅B : ={a⋅b∣a∈A\0D,b∈B\0D}∪0D
Das definiert eine Multiplikation für beliebige A,B∈D wie folgt: wir setzen
A⋅B=−((−A)⋅B), wenn A<0D,A⋅B=−(A⋅(−B)), wenn B<0D
a) Zeigen Sie, dass ⋅ kommutativ ist.
b) Zeigen Sie, dass 1D : ={x∈Q∣x<1} das neutrale Element der Multiplikation ist, und bestimmen sie das multiplikativ Inverse zu A>0D.
c) Zeigen Sie für Elemente A,B,C≥0D, dass
(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C),(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C.
Problem/Ansatz:
Habe leider kein Plan wie ich es mache, kann wer bitte helfen