Bestimmen sie die B\subset R2 und f: B\to R2 derart, dass sich S als Graph der Funktion f schreiben lässt.

Question

Aufgabe:

Es sei gegeben die Fläche $$S\subset R^3$$ gegeben durch:

$$S=[(x,y,z)\in \mathbb{R}| z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1, z\geq0]$$

a) Bestimmen sie $$B\subset R^2$$ und f:$$B\to R^2$$derart, dass sich S als Graph der Funktion f schreiben lässt.

b) Berechnen sie den Flächeninhalt σ(S)

c) Geben sie eine Parameterdarstellung der Randkurve dS

d) Berechnen sie für das Vektorfeld v(x,y,z)=(xy,0,xy/2)^T das Integral $$\int_{S}^{}\lt rot(v),n\gt d\sigma$$ wobei n das Vektorelement mit der positiven z-Achse bezeichnet

Problem/Ansatz:

Hallo, ich hätte ein paar Fragen hierzu.

Also erstmal zu der a):

Um B zu bestimmen habe ich z=0 gesetzt, also $$x^2+y^2=4$$

Für f(x,y) habe ich nach z aufgelöst $$z=1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}$$

Der Graph P(x,y,f(x,y)) Wäre dann $$\begin{pmatrix} x\\y\\f(x,y) \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} x\\y\\1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4} \end{pmatrix}$$

Für die b)

Hier müsste ich ja dann P nach x und P nach y ableiten, und davon das Kreuzprodukt berechnen.

Also Px X Py.

Über den Betrag davon muss ich jetzt ja integrieren um die Fläche zu berechnen:

$$F=\int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{2}|Px X Py|drd\phi$$

Hier setze ich dann Kreiskoordinaten ein etc.

Ab der c) bin ich mir aber nichtmehr sicher.

Könnte mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

Muss man diese Randkurve immernoch über B aufstellen? Also: $$\begin{pmatrix} 2cos(\phi)\\2sin(\phi)\\0 \end{pmatrix}$$

Oder ist das Vorgehen hier anders?

Bei der d) vermute ich, dass der Satz von Stokes angewendet werden muss, aber erstmal würde ich gerne über die c) reden. Wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte :)

Answer 1

Es sollte bekannt sein, dass x²+y²=r² die Gleichung eines Kreises ist.

Wenn man die Gleichung von S in dieser Hinsicht umformt, erhält man

x²+y²=4(1-z).

Für jedes z zwischen 0 und 1 existiert eine Parallelebene zur x-y-Ebene, in der ein solcher Kreis existiert.

Der Mittelpunkt ist (0|0|z), und der Radius ist 2$\sqrt{1-z}$.

Comments

Danke für deine Antwort.

Also ist die gefragte Parametrisierung in c) $$\begin{pmatrix} 2\sqrt{1-z}cos(\phi)\\2\sqrt{1-z}sin(\phi)\\z \end{pmatrix}$$ oder wie?