Limes ohne L'Hopital von Cosinus - Einschließungslemma berechnen (Problem .../0 Teilen)

Question

Aufgabe: Berechnen ohne L'Hopital zu verwenden:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos{x}-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}}{x^6}$$

Problem/Ansatz: $$1-\frac{x^2}{2} \leq \cos{x} \leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} \forall x\in[0, 2]$$ (Einschließungslemma)
Daraus kann man zumindest schließen, dass der Grenzwert negativ ist, allerdings auch nicht mehr, da immer noch das Problem mit $x^6$ besteht, da man für $x\to0$ durch 0 teilen müsste.

Ich komme hier echt nicht weiter, wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\:usw.$

Wenn du davon die drei Summanden deines Zählers subtrahierst, erhältst du im Bruch $-\frac{1}{720}$ plus/minus weitere Summanden, die gegen 0 gehen.

Comments

Vielen Dank, ging doch so einfach. Ich habe anscheinend einfach zu kompliziert gedacht.