zeigen sie, dass die Funktion an der Stelle x=1 stetig ergänzt werden kann

Question

Hallo Liebe Leute,

Ich hab folgende folgende Funktion gegeben:

f(x)= (x-x²)/(2-x-x²)

Meine Aufgabe ist es jetzt zu zeigen, dass die Funktion an der Stelle x=1 stetig ergänzt werden kann zu einer Funktion f~.

Da ich das noch nie gemacht habe, wäre es gut, wenn mir mal jemand zeigen könnte, was dort zu machen ist.

Answer 1

Aloha :)

Du hast hier eine Funktion $f(x)$ bestehend aus einem Polynom $z(x)$ im Zähler und einem Polynom $n(x)$ im Nenner:$$f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}=\frac{x-x^2}{2-x-x^2}\stackrel{\frac{\cdot(-1)}{\cdot(-1)}}{=}\frac{x^2-x}{x^2+x-2}=\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$

Bei solchen Funktion sind die Nullstellen von Zähler und Nenner wichtige Punkte.

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{=0}{\ne0} & \text{Nullstelle}\\[2ex]\frac{\ne0}{=0} & \text{Definitionslücke mit Polstelle}\\[2ex]\frac{=0}{=0} & \text{stetig behebbare Definitionslücke}\end{array}}$$

1. Fall: Nullstelle, wenn Zähler gleich Null und Nenner ungleich Null.

An solchen Stellen $x$ hat die Funktion $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ eine Nullstelle.

Das ist hier konkret bei $x=0$ der Fall.

2. Fall: Polstelle, wenn Zähler ungleich Null und Nenner gleich Null.

An solchen Stellen $x$ hat die Funktion $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ eine Polstelle.

Das ist hier konket bei $x=-2$ der Fall.

3. Fall: Stetig behebbare Lücke, wenn Zähler gleich Null und Nenner gleich Null.

An solchen Stellen $x$ hat die Funktion $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ eine behebbare Lücke.

Das ist hier konkret bei $x=1$ der Fall.

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-x²)/(2-x-x²)x = -2P(0|0)P(1|1/3)Zoom: x(-6…6) y(-8…8)

Answer 2

$$\frac{x - x^2}{2-x-x^2} = \frac{-(x^2 - x)}{-(x^2 + x - 2)} = \frac{x^2 - x}{x^2 + x - 2} = \frac{x(x - 1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{x}{x+2}$$

Answer 3

x-x² = x(1-x)= -x(x-1)

2-x-x²= -(x²+x-2) = -(x+2)(x-1)

x-1 lässt sich wegkürzen

Dann 1 einsetzen -> f(1) = 1/3

f~ = x/(x+2)

Comments

Kurze Frage: Wenn ich (x-1) wegkürze, dann bleibt bei mir x/x+2 stehen. Wie kommst du auf 1/x+2?

---

x / x+2 ist richtig wird allerding x / (x+2) geschrieben. Das ist hier wichtig!

---

Danke, das war ein Tippfehler, den ich korrigiert habe.