Parabel Aufgabe maximal Rechteck

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Parabel zu \(f (x) = 6 - 0,25x^2\)  ?
In den Ausschnitt der Ebene, der zwischen Parabel und x-Achse liegt, ist ein Rechteck so einzubeschreiben, dass dessen Umfang am größten ist. Ermittle die Seitenlängen des Rechtecks.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter und ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen

Answer 1

Planfigur:

In der Zeichnung siehst du das Rechteck A , B, P ,C.

Dieses Rechteck soll maximalen Umfang erhalten.

Der Umfang ist nun

\(U(u)= \red {2u}+\blue{f(u)}+\red {2u}+\blue{f(u)}=2\cdot \red {2u}+2\cdot \blue{f(u)}\).

\(\green{f(x)=6-0,25x^2}\)

Nun ist \(\blue{f(u)}\) der Funktionswert an der Stelle \(u\)

\(\blue{f(u)=6-0,25u^2}\)

\(U(u)=2\cdot \red {2u}+2\cdot( \blue{6-0,25u^2})\)

\(U(u)=4u+12-0,5u^2\)

Das schaut doch schon sehr nach der Funktion einer Parabel aus.

Ich zeige dir nun noch das Bild der Parabel

 \(U(x)=4x+12-0,5x^2\)

Mit den Mitteln deiner Wahl bestimme nun das Maximum dieser Funktion.

Answer 2

f (x) = 6 - 0,25x^2

In den Ausschnitt der Ebene, der zwischen Parabel und x-Achse liegt, ist ein Rechteck so einzubeschreiben, dass dessen Umfang am größten ist. Ermittle die Seitenlängen des Rechtecks.

U(x) = 4·x + 2·f(x) = 4·x + 2·(6 - 0.25·x^2) = - 0.5·x^2 + 4·x + 12

U'(x) = 4 - x = 0 → x = 4 mit VZW von + zu minus und damit ein Maximum.

Kannst du jetzt die Seitenlängen ermitteln?

Comments

Nein. Ich komme nicht weiter

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Breite = 2*4 = 8 LE (Längeneinheiten)

Höhe = f(4) = 2 LE