Änderung eines Funktionswertes durch %-Änderung der Variablen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion z(x,y)= (4*y^1/3)/x²

die relative Änderung des Funktionswertes, wenn x um 5% abnimmt und y um 6% zunimmt.

Problem/Ansatz:

Ich bin absolut ratlos wie ich da rangehen müsste. Klar könnte ich die % in x und y einsetzen, also 4*(y+6%)^1/3 und (x-5%)²
Aber ich wüsste nicht wie das weiterhelfen sollte. Um den Funktionswert zu bestimmen bräuchte ich ja einen gegebenen Punkt. Oder steckt da irgendwo noch ne versteckte Extremwert-Aufgabe mit drin?

Comments

Letzteres :-), Stichwort totales Differential

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Vielleicht ist das Stichwort auch "Elastizitätskoeffizient" oder ...

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$$z(x \cdot (1-0.05), ~y \cdot (1+0.06)) \newline = z(x \cdot 0.95, ~y \cdot 1.06) \newline = \frac{4 \cdot (y \cdot 1.06)^\frac{1}{3}}{(x \cdot 0.95)^2} \newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3} \cdot 1.06^\frac{1}{3}}{x^2 \cdot 0.95^2} \newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot \frac{1.06^\frac{1}{3}}{0.95^2}\newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot \frac{1.06^\frac{1}{3}}{0.95^2}\newline \approx \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot (1 + 0.1298) \newline \approx z(x, ~y) \cdot (1 + 0.1298)$$

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Schöne Paraphrasierung des längst Bekannten.

Answer 1

Vielleicht ganz einfach so:

$$x' = 0.95x,\: y'=1.06y \Rightarrow z'= 4\frac{\sqrt[3]{1.06y}}{(0.95x)^2}= \frac{\sqrt[3]{1.06}}{0.95^2}\cdot z(x,y)\approx 1.13 z \Rightarrow 13\%$$

Comments

Die Idee hatte ich ja, aber da die Aufgabe allgemein gestellt war bin ich nicht sicher ob ich (1;1) nehmen darf.

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Die Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt, finde ich. Wenn man exakt rechnen soll, dann so wie @trancelocation angegeben hat 12,93%.

Wenn man linear annähern darf/soll mit den partiellen Ableitungen kämen etwa 12% heraus.

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Aufgrund der multiplikativen Struktur der Funktion ist der prozentuale Zuwachs unabhängig von den (üblicherweise hier positiven) Koordinaten. Mit (1,1) würdest du dasselbe Ergebnis bekommen, aber eben nur für einen Punkt.

Answer 2

\(\displaystyle \Large\frac{\frac{4\cdot (1,06y)^{1/3}}{(0,95 x)^2}}{\frac{4\cdot y^{1/3}}{x^2}}\normalsize -1 \approx 0,13 \)