Änderung eines Funktionswertes durch %-Änderung der Variablen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion z(x,y)= (4*y^1/3)/x²

die relative Änderung des Funktionswertes, wenn x um 5% abnimmt und y um 6% zunimmt.

Problem/Ansatz:

Ich bin absolut ratlos wie ich da rangehen müsste. Klar könnte ich die % in x und y einsetzen, also 4*(y+6%)^1/3 und (x-5%)²
Aber ich wüsste nicht wie das weiterhelfen sollte. Um den Funktionswert zu bestimmen bräuchte ich ja einen gegebenen Punkt. Oder steckt da irgendwo noch ne versteckte Extremwert-Aufgabe mit drin?

Comments

Letzteres :-), Stichwort totales Differential

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Vielleicht ist das Stichwort auch "Elastizitätskoeffizient" oder ...

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$$z(x \cdot (1-0.05), ~y \cdot (1+0.06)) \newline = z(x \cdot 0.95, ~y \cdot 1.06) \newline = \frac{4 \cdot (y \cdot 1.06)^\frac{1}{3}}{(x \cdot 0.95)^2} \newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3} \cdot 1.06^\frac{1}{3}}{x^2 \cdot 0.95^2} \newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot \frac{1.06^\frac{1}{3}}{0.95^2}\newline = \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot \frac{1.06^\frac{1}{3}}{0.95^2}\newline \approx \frac{4 \cdot y^\frac{1}{3}}{x^2} \cdot (1 + 0.1298) \newline \approx z(x, ~y) \cdot (1 + 0.1298)$$

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Schöne Paraphrasierung des längst Bekannten.

Answer 1

Vielleicht ganz einfach so:

$$x' = 0.95x,\: y'=1.06y \Rightarrow z'= 4\frac{\sqrt[3]{1.06y}}{(0.95x)^2}= \frac{\sqrt[3]{1.06}}{0.95^2}\cdot z(x,y)\approx 1.13 z \Rightarrow 13\%$$

Comments

Die Idee hatte ich ja, aber da die Aufgabe allgemein gestellt war bin ich nicht sicher ob ich (1;1) nehmen darf.

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Die Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt, finde ich. Wenn man exakt rechnen soll, dann so wie @trancelocation angegeben hat 12,93%.

Wenn man linear annähern darf/soll mit den partiellen Ableitungen kämen etwa 12% heraus.

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Aufgrund der multiplikativen Struktur der Funktion ist der prozentuale Zuwachs unabhängig von den (üblicherweise hier positiven) Koordinaten. Mit (1,1) würdest du dasselbe Ergebnis bekommen, aber eben nur für einen Punkt.

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Leider war die Lösung 3/25 (0,12). Ich versteh nur nicht warum und ein Rechenweg wurde nicht gegeben.

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@SteffenT

Hast du uns die vollständige Aufgabe gegeben? Insbesondere falls deine Aufgabe Teilaufgabe einer größeren Aufgabe war.

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@SteffenT: Warum beantwortest Du nicht die Frage von User... nach den aktuellen Themen in Eurem Unterricht???

Answer 2

\(\displaystyle \Large\frac{\frac{4\cdot (1,06y)^{1/3}}{(0,95 x)^2}}{\frac{4\cdot y^{1/3}}{x^2}}\normalsize -1 \approx 0,13 \)

Comments

Laut Lösung ist die Antwort 3/25. Aber wie komme ich darauf?

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Ich nehme an, Ihr macht gerade Funktionen mehrerer Variablen und habt auch partielle Ableitungen und lineare Näherungen besprochen?

3/25 = 1/10 + 1/50

was genau die lineare Näherung durch das Totale Differential ist und damit etwas von den genaueren 13% oben abweicht.

Das ‚richtige’ Ergebnis hängt hier davon ab, was Ihr üben sollt.

(Siehe auch meine Kommentare oben).

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Überflüssig geworden

Die Antwort auf diese Frage hat Dir User... bereits gegeben.

Gretchenfrage: Ist Dir klar, dass 3/25=0.12 ist?

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Laut Lösung ist die Antwort 3/25

Das wäre die Annäherung. Meine Antwort ist der exakte Wert, da ich in der Aufgabe nichts von "Annäherung" (durch totales Differential) gelesen habe.

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\(\approx 0,13\)

Meine Antwort ist der exakte Wert

Nö. Ist sie nicht.

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Ist sie doch. Hör auf, hier das Publikum zu erschrecken :)

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Nö. Ist sie nicht.

Links vom Approximazionszeichen schon. Nur eben nicht in vereinfachter Form.