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Aufgabe:

Berechnen Sie Untersumme und Obersumme bei Einteilung in n gleichbreite Streifen für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n → ∞?
c) f(x) = x2,
I = [O; 10]
d) f(x) = 2x2 + x,
I= [0;1]


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, was ich machen muss. Ich hatte Obersumme und Untersumme mit einfachen Beispiel wie 1/4 was ich verstanden habe, Aber keine Grenzwertaufgaben.

Kann mir jemand helfen?

Avatar vor von

Es kann hilfreich sein es erstmal für 2, 5 und 10 gleichbreite Streifen zu machen.

Schaffst du das ?

Dann entwickelst du daraus die Formel für n gleichbreite Streifen.

blob.png

blob.png

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Welche Formel  soll ich für Ober und untersumme benutzen

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{10}{n}(\frac{10k}{n})^2} \)=\( \frac{500}{n} \)+\( \frac{500}{3n^2} \)+\( \frac{1000}{3} \).

Du solltest es aber zunächst für ein paar feste Werte für n notieren. Auch gerne ohne das Summenzeichen. Also z.B. für n = 2:

U2 = 10/2·0^2 + 10/2·(10/2)^2 = 125
O2 = 10/2·(10/2)^2 + 10/2·(2·10/2)^2 = 625

Wenn du es für n = 5 und n = 10 auch notiert hast, kannst bzw. solltest du spätestens schauen, dass du die Summe geschickt vereinfachen kannst, indem du konstante Faktoren ausklammerst.

U5 = 10/5·0^2 + 10/5·(10/5)^2 + 10/5·(2·10/5)^2 + 10/5·(3·10/5)^2 + 10/5·(4·10/5)^2
U5 = (10/5)^3·(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)
U5 = 240

Dabei solltest du die Formel für die Partialsummen der Reihe der Quadratzahlen kennen.

Wenn du alles so weit hast, erst dann würde ich mich an die Formel mit dem allgemeinen n machen.

O2 = 10/2·02 + 10/2·(2·10/2)2 = 500

Liegt hier ein Druckfehler vor?

Liegt hier ein Druckfehler vor?

Ich habe den Fehler korrigiert.

2 Antworten

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Es steht da, was Du machen sollst. Hast Du angefangen?

Obersumme hinschreiben. Naheliegende Umformungen einbringen (beachte \(n\cdot h=\) Intervalllänge). Soweit solltest Du auf jeden Fall kommen. Dann helfen einige bekannte Formeln, siehe z.B. https://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm
Für Untersumme analog.

Lade bei Fragen Deine Rechnung hoch.

Avatar vor von 11 k
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Für die Untersumme:

Teile die Fläche unter der Parabel in n gleichbreite Streifen:

blob.png

Berechne die Fläche des gelben Rechtecks und summiere für k von 1 bis n. Forme um und bilde danach den Grenzwert.

Avatar vor von 124 k 🚀
k von 1 bis n

Für die Untersumme läuft k von 0 bis n - 1.

Für die Obersumme läuft k von 1 bis n.

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