Quadratische Funktion Extrempunkt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3. Eine Quadratische Funktion verläuft durch den Punkt \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}6 & 0\end{array}\right) \) und besitzt den Extrempunkt \( E=(2 / 4) \).
\( \left|y(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x+3\right| \)

Problem/Ansatz:

Leider bekomme ich ein flasches Ergebnis.

Comments

Wie lautet die Aufgabe (soll man die Funktion aufschreiben? Diesfalls: Was ist Deine Frage, denn die Funktion steht schon da), und wie bist Du auf welches Ergebnis gekommen?

---

Da die beiden Nullstellen symmetrisch zur Extremstelle liegen, die Extremstelle x=2 und eine Nullstelle x=6 ist, muss -2 die andere Nullstelle sein.

Jede quadratische Funktion mit dien beiden Nullstellen kann in der Form f(x)=a*(x-6)*(x+2) geschrieben werden. Bestimme nun a so, dass an der Extremstelle f(2)=4 gilt.

Answer 1

Wie oder was hast Du denn gerechnet? Ich kann die Lösung bestätigen.

Zeig mal her was Du hast, dann schauen wir, wo Du falsch abgebogen bist.

Grüße

Comments

Mit dem T-Nspire

y(x)=a*x²+b*x+c

Solve(

y(6)=0

y(2)=4,{a,b})

---

Nun, es sind drei Unbekannte. Du aber suchst nur nach zweien?

Du musst noch eine dritte Bedingnug finden.

Darf der Rechner hier überhaupt verwendet werden?

Answer 2

Eine Quadratische Funktion ... besitzt den Extrempunkt \( E=(2 / 4) \).

Scheitelpunktform. Der Extrempunkt der Funktion

    \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)

ist \((d|e)\).

Also hat die Funktion

(1)        \(f(x) = a(x-2)^2 + 4\)

den Extrempunkt \(E\).

verläuft durch den Punkt \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}6 & 0\end{array}\right) \)

In (1) einsetzen ergibt

(2)        \(0 = a(6-2)^2 + 4\).

Lösung von (2) ist \(a=-\frac{1}{4}\). In (1) einsetzen ergibt

(3)        \(f(x) = -\frac{1}{4}(x-2)^2 + 4\)

Jetzt (3) in Normalform umwandeln.

Comments

Das ist natürlich die elegante Variante. Die hat nur niemand in der Oberstufe noch auf dem Schirm, sobald man Extrempunkte eingeführt hat.

---

Man braucht das gar nicht in Normalform bringen. Die Nullstellen und Extremstellen lassen sich auch so berechnen.

Nullstellen: f(x) = 0 <=> (x-2)^2 = 16

<=> |x-2| = 4 <=> x-2 = 4 oder 2-x = 4

<=> x = 6 oder x = -2

Extremstellen: df(x) = -1/2 (x-2) = 0 <=> x = 2 usw…

Answer 3

f(x) = a·x² + b·x + c

Wenn ihr das z.B. mit der Ableitung für die notwendige Bedingung rechnen sollt, müsstest du folgendes Gleichungssystem lösen

f(2) = 4 → 4a + 2b + c = 4
f'(2) = 0 → 4a + b = 0
f(6) = 0 → 36a + 6b + c = 0

Damit kommt dein Taschenrechner hoffentlich auf die Lösung: [a = -0.25 ∧ b = 1 ∧ c = 3]